TITLE:*ウィルコクソンの符号付順位検定 *ウィルコクソンの符号付順位検定 [#q621149a] -対応のある2つの標本について、それぞれのデータの対(各組)の差の順にもとづいて検定する -変数が順序尺度、もしくは、正規性があるか不明で間隔・比例尺度の場合に使うことができる **検定の対象 [#i36c0164] 対応のある2組の標本(標本数は同じ)について考える。 2つの標本AとBについて、データを表にまとめると次のようになったとする。 |CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c |~ |~1|~2|~3|~4|~5|~6|~7|~8|~9|~10| |~標本A|269|230|365|282|295|212|346|207|308|257| |~標本B|273|213|383|282|297|213|351|208|294|238| -2つの標本のデータの各組を差 &mimetex(\normalsize d_i = A_i - B_i); の絶対値を求める --差が0の組は、この後の手続きから除外する -それぞれの差の絶対値 &mimetex(\normalsize |d_i|); に対応する組の数をもとに、差の絶対値の小さいほうから順位をつける --同一順位の場合は、次のように扱う(平均順位) ---2位が2つある場合:2位と3位の中間 (2+3)/2=2.5位を順位とする ---4位が3つある場合:4位と5位と6位の中間 (4+5+6)/3=5位を順位とする -標本数 &mimetex(\normalsize n ); を、差が0でない組の数とする |CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c |~ |~1|~2|~3|~4|~5|~6|~7|~8|~9|~10| |~標本A|269|230|365|282|295|212|346|207|308|257| |~標本B|273|213|383|282|297|213|351|208|294|238| |~差 '''d'''|-4|17|18|0|-2|-1|-5|-1|14|19| |~順位|4|7|8| |3|1.5|5|1.5|6|9| **ウィルコクソンの符号付順位検定 [#q1ce2989] -データ対の順位がわかる場合は、符号検定よりも効率が良い ***帰無仮説と対立仮説 [#i9abbb97] 対応のある2組の標本の代表値に差があるかどうかを調べる。 -帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の標本の代表値に差はない」 -対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の標本の代表値に差がある」 ***検定統計量の算出 [#o36222cb] -2つの標本の差 &mimetex(\normalsize d_i); の順位の和を、次のように求める --差 &mimetex(\normalsize d_i); が正の値の順位の和を &mimetex(\normalsize T+); とする --差 &mimetex(\normalsize d_i); が負の値の順位の和を &mimetex(\normalsize T-); とする -&mimetex(\normalsize T+ ); と &mimetex(\normalsize T- ); の小さい方の値を &mimetex(\normalsize T_0 ); とする。 --標本数 &mimetex(\normalsize n ); は、差が0でない組の数とする #mimetex(){{ \mu_{T} = \frac{n(n+1)}{4} T_0 = \min ( T+ , T-) }} -&mimetex(\normalsize n \leq 25 ); (または &mimetex(\normalsize n \leq 50 ); )の場合… --ウィルコクソンの符号付順位検定表から、標本数 &mimetex(\normalsize n ); に対応する &mimetex(\normalsize T ); の値を求める -&mimetex(\normalsize n > 25 ); (または &mimetex(\normalsize n > 50 ); )の場合… --平均 &mimetex(\normalsize \mu_{T} ); と標準偏差 &mimetex(\normalsize \sigma_{T} ); を次の式から求める #mimetex(){{ \sigma_{T} = \sqrt{ \frac{ n(n+1)(2n+1) }{24} } \begin{eqnarray} \mu_{T} &=& \frac{n(n+1)}{4} \\ \sigma_{T} &=& \sqrt{ \frac{ n(n+1)(2n+1) }{24} } \end{eqnarray} }} --標準正規分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を次の式から算出する #mimetex(){{ z_0 = \frac{ | T_0 - \mu_{T} | }{ \sigma_{T} } }} ***仮説の判定(検定表からの算出) [#he4b582f] -&mimetex(\normalsize n \leq 25 ); (または &mimetex(\normalsize n \leq 50 ); )の場合… --帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize T_0 \geq T); ---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」 --帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize T_0 < T); ---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」 #br -&mimetex(\normalsize n > 25 ); (または &mimetex(\normalsize n > 50 ); )の場合… -検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); と、有意水準 &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値(標準正規分布表などから求める)を使って、判定をする --帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |z_0| > z(\alpha/2)); ---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」 --帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |z_0| < z(\alpha/2)); ---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」 |