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健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/13th/Wilcoxon のバックアップ(No.4)

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2009/13th/Wilcoxon へ行く。
- 1 (2009-07-12 (日) 07:43:34)
- 2 (2009-07-14 (火) 16:38:53)
- 3 (2009-07-15 (水) 14:28:54)
- 4 (2009-07-23 (木) 02:09:46)

ウィルコクソンの符号付順位検定

対応のある2つの標本について、それぞれのデータの対（各組）の差の順にもとづいて検定する
変数が順序尺度、もしくは、正規性があるか不明で間隔・比例尺度の場合に使うことができる

検定の対象

対応のある2組の標本（標本数は同じ）について考える。

2つの標本AとBについて、データを表にまとめると次のようになったとする。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
標本A	269	230	365	282	295	212	346	207	308	257
標本B	273	213	383	282	297	213	351	208	294	238

2つの標本のデータの各組を差 $\normalsize d_i = A_i - B_i$ の絶対値を求める
- 差が0の組は、この後の手続きから除外する
それぞれの差の絶対値 $\normalsize |d_i|$ に対応する組の数をもとに、差の絶対値の小さいほうから順位をつける
- 同一順位の場合は、次のように扱う（平均順位）
  - 2位が2つある場合：2位と3位の中間 (2+3)/2=2.5位を順位とする
  - 4位が3つある場合：4位と5位と6位の中間 (4+5+6)/3=5位を順位とする
標本数 $\normalsize n$ を、差が0でない組の数とする

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
標本A	269	230	365	282	295	212	346	207	308	257
標本B	273	213	383	282	297	213	351	208	294	238
差 d	-4	17	18	0	-2	-1	-5	-1	14	19
順位	4	7	8		3	1.5	55	1.5	6	9

ウィルコクソンの符号付順位検定

データ対の順位がわかる場合は、符号検定よりも効率が良い

帰無仮説と対立仮説

対応のある2組の標本の代表値に差があるかどうかを調べる。

帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ は「2組の標本の代表値に差はない」
対立仮説 $\normalsize H_{1}$ は「2組の標本の代表値に差がある」

検定統計量の算出

2つの標本の差 $\normalsize d_i$ の順位の和を、次のように求める
- 差 $\normalsize d_i$ が正の値の順位の和を $\normalsize T+$ とする
- 差 $\normalsize d_i$ が負の値の順位の和を $\normalsize T-$ とする
$\normalsize T+$ と $\normalsize T-$ の小さい方の値を $\normalsize T_0$ とする。
- 標本数 $\normalsize n$ は、差が0でない組の数とする
  $T_0 = \min ( T+ , T-)$

$\normalsize n \leq 25$ （または $\normalsize n \leq 50$ ）の場合…
- ウィルコクソンの符号付順位検定表から、標本数 $\normalsize n$ に対応する $\normalsize T$ の値を求める

$\normalsize n > 25$ （または $\normalsize n > 50$ ）の場合…
- 平均 $\normalsize \mu_{T}$ と標準偏差 $\normalsize \sigma_{T}$ を次の式から求める
  $\begin{eqnarray}\mu_{T} &=& \frac{n(n+1)}{4} \\\sigma_{T} &=& \sqrt{ \frac{ n(n+1)(2n+1) }{24} }\end{eqnarray}$
- 標準正規分布にしたがう、検定統計量 $\normalsize z_0$ を次の式から算出する
  $z_0 = \frac{ | T_0 - \mu_{T} | }{ \sigma_{T} }$

仮説の判定（検定表からの算出）

$\normalsize n \leq 25$ （または $\normalsize n \leq 50$ ）の場合…
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を棄却 : $\normalsize T_0 \leq T$
  - 「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を採択 : $\normalsize T_0 > T$
  - 「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」

$\normalsize n > 25$ （または $\normalsize n > 50$ ）の場合…
検定統計量 $\normalsize z_0$ と、有意水準 $\normalsize \alpha$ の有意点の値（標準正規分布表などから求める）を使って、判定をする
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を棄却 : $\normalsize |z_0| > z(\alpha/2)$
  - 「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を採択 : $\normalsize |z_0| < z(\alpha/2)$
  - 「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」

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