TITLE:確率変数の期待値と分散 *確率変数の期待値と分散 [#q3c54df0] **期待値(平均値) [#ue6d97f0] ***期待値とは [#x797a328] -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の確率分布が次のようなとき、 |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c | &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計| | 確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 | -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の平均値、または期待値は、次のように表せる #mimetex(){{ \mu = E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n }} -期待値とは、1回の試行の結果として期待される値の大きさを表す ***期待値の計算例 [#s01a9426] -サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率分布は次のようになる |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c | &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計| |確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); | -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の期待値(平均値)は、 &mimetex(\normalsize n = 6 ); なので、 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} x_1 = 1, x_2 = 2, \cdots , x_6 = 6 \\[10] p_1 = \frac{1}{6}, p_2 = \frac{1}{6}, \cdots , p_6 = \frac{1}{6} \end{eqnarray} }} -したがって、次のようになる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} E(X) &=& 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} \\[10] &=& \frac{21}{6} = 3.5 \end{eqnarray} }} **期待値と算術平均との関係 [#k3778712] ***期待値と算術平均との関係 [#k3778712] -n 個のデータ &mimetex(\normalsize x_1 , x_2 , \cdots , x_n ); の平均値は、次のように表せる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} \\[10] &=& x_1 \times \frac{1}{n} + x_2 \times \frac{1}{n} + \cdots + x_n \times \frac{1}{n} \end{eqnarray} }} -ここで確率について、&mimetex(\normalsize p_1 = \frac{1}{n} , p_2 = \frac{1}{n} , \cdots , p_n = \frac{1}{n} ); とおく、つまり各々の確率が等しいと考えると、 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \bar{x} &=& x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \\[10] &=& E(X) \end{eqnarray} }} -すなわち、各々の確率が等しくても等しくなくても、平均値(期待値)を求めることができる **分散と標準偏差 [#l8003537] ***確率変数の分散と標準偏差 [#h14c61d5] -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の確率分布が次のようなとき、 |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c | &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計| | 確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 | -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の分散は次のように表す #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \sigma^2 = V(X) &=& (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n \\[10] &=& \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) p_i \end{eqnarray} }} -分散の正の平方根を、確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の標準偏差といい、次のように表す #mimetex(){{ \sigma = \sqrt{ V(X) } }} ***確率変数の分散と標準偏差の特徴 [#k32917a5] -分散や標準偏差が小さいほど、確率変数の値は平均に集中し、ばらつきが小さい -分散や標準偏差が大きいほど、確率変数の値は平均から離れ、ばらつきが大きい ***確率変数の分散と標準偏差の計算 [#v4532f58] -サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率分布は次のようになる |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c | &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計| |確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); | -したがって、分散は次のようにして求められる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \sigma^2 = V(X) &=& (1 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + \cdots + (6 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} \\[10] &=& \frac{35}{12} \simeq 2.92 \end{eqnarray} }} -また、標準偏差は次のようになる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \sigma &=& \sqrt{ V(X) } \\[10] &=& \sqrt{ \frac{35}{12} } \simeq 1.71 \end{eqnarray} }} -つまり、サイコロを何回も投げたとき、そのでた目の平均が 3.5 ± 1.71 (1.79〜5.21)の範囲になる確率が高いことを示している |