TITLE:比率の差の検定 *比率の差の検定 [#h17938b0] 比率の差の検定には、次の2つの方法がある。 -正規分布に近似して検定 -独立性の検定( &mimetex(\normalsize \chi^2 ); 検定) ここでは、正規分布に近似する方法を説明する。 **検定の対象 [#i7e1be8c] 2組の標本のについて考える。それぞれの統計量は次のとおり。 |CENTER:|CENTER:|CENTER:|c |~ |~標本1|~標本2| |~標本数|&mimetex(\normalsize n_1 );|&mimetex(\normalsize n_2 );| |~事象が起こる回数|&mimetex(\normalsize r_1 );|&mimetex(\normalsize r_2 );| |~標本比率|&mimetex(\normalsize p_1 = \frac{r_1}{n_1} );|&mimetex(\normalsize p_2 = \frac{r_2}{n_2} );| **正規分布に近似する方法 [#w074a688] この方法を使って、標本比率の差を検定するには、次の2つの条件を満たさないといけない -&mimetex(\normalsize n_1 p_1 > 5 , \hspace{8} (p_1 < 1 - p_1)); 、または &mimetex(\normalsize n_1 > 25 ); -&mimetex(\normalsize n_2 p_2 > 5 , \hspace{8} (p_2 < 1 - p_2)); 、または &mimetex(\normalsize n_2 > 25 ); ***帰無仮説と対立仮説 [#u7368b75] 2組の標本の比率に差があるかどうかを調べる。 -帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の標本の比率に差はない」 : &mimetex(\normalsize p_1 = p_2 (= p) ); -対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の標本の比率に差がある」 : &mimetex(\normalsize p_1 \neq p_2); ***検定統計量の算出 [#ced84f2a] -母比率の推定値 &mimetex(\normalsize \hat{p} ); を求める #mimetex(){{ \hat{p} = \frac{ n_1 p_1 + n_2 p_2 }{ n_1 + n_2 } }} -標準正規分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を次の式から算出する #mimetex(){{ z_0 = \frac{ p_1 - p_2 }{ \sqrt{ \hat{p} ( 1 - \hat{p} ) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right) } } }} ***仮説の判定(両側検定) [#q81f9f97] -検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); と、有意水準 &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値(標準正規分布表などから求める)を使って、判定をする --帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |z_0| > z_{(\alpha/2)}); ---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」 ---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」「比率に差がある」 --帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |z_0| < z_{(\alpha/2)}); ---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」 ---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「比率に差があるとはいえない」 **例題 [#q2dfd202] -男性有権者の中から1,200人、女性有権者の中から900人を選んで、内閣の支持者の数を調べた結果、それぞれ432人と276人であった。男性と女性間で支持率に差があるといえるか? ***考え方 [#a85c8978] 男女それぞれ有権者について、それぞれの人数や支持者の数についてまとめると、次の表のようになる。 |CENTER:|CENTER:|CENTER:|c |~ |~男性有権者|~女性有権者| |~標本数|&mimetex(\normalsize n_1 =1200 );|&mimetex(\normalsize n_2 = 900 );| |~事象が起こる数|&mimetex(\normalsize r_1 =432 );|&mimetex(\normalsize r_2 =276 );| |~標本比率|&mimetex(\normalsize p_1 = \frac{r_1}{n_1} = 0.36 );|&mimetex(\normalsize p_2 = \frac{r_2}{n_2} = 0.30666\cdots );| 男女それぞれ有権者について、内閣支持率に差があるかどうか調べたいので、 帰無仮説と対立仮説は、次のようになる。 -帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); : 「男性と女性とで内閣支持率に差はない」 -対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); : 「男性と女性とで内閣支持率に差がある」 まず、母比率の推定値 &mimetex(\normalsize \hat{p} ); を求める #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \hat{p} &=& \frac{ n_1 p_1 + n_2 p_2 }{ n_1 + n_2 } \\[10] &=& \frac{ 1200 \times 0.36 + 900 \times 0.30666\cdots }{ 1200 + 900 } \\[10] &=& \frac{ 432 + 276 }{ 2100 } = 0.33714\cdots \simeq 0.3371 \end{eqnarray} }} したがって、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を求めると、 次のようになる。 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} z_0 &=& \frac{ p_1 - p_2 }{ \sqrt{ \hat{p} ( 1 - \hat{p} ) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right) } } \\[10] &=& \frac{ 0.36 - 0.30666\cdots }{ \sqrt{ 0.3371 \times ( 1 - 0.3371 ) \left( \frac{1}{1200} + \frac{1}{900} \right) } } \\[10] &=& 2.55849\cdots \simeq 2.558 \end{eqnarray} }} この検定統計量を両側検定で判定すると、 有意水準 &mimetex(\normalsize \alpha =0.05); では、 &mimetex(\normalsize |z_0| = 2.558 > z_{(\alpha/2)} = 1.960 ); となり、 帰無仮説は棄却される。 つまり、''有意水準 5% で仮説検定を行った結果、'' ''男性と女性とで内閣支持率に差がある''。 なお、有意水準 &mimetex(\normalsize \alpha =0.01); では、 &mimetex(\normalsize |z_0| = 2.558 < z_{(\alpha/2)} = 2.567 ); となり、 帰無仮説は棄却できない。 つまり、男性と女性とで内閣支持率に差があるとはいえない。 |