TITLE:確率変数と確率分布 *確率変数と確率分布 [#x75fc0cd] **確率変数 [#z339bf48] ***確率変数とは [#r3f37544] -試行の結果、ある値をとる確率が決まる変数を、「''確率変数''」という -サイコロを1回投げる場合を考える --サイコロの出た目の数 {1, 2, 3, 4, 5, 6} を &mimetex(\normalsize X ); (確率変数)とする ---確率変数は大文字で書く --&mimetex(\normalsize X = 1 ); (つまり1の目がでる)の事象の確率は、次のように表すことができる #mimetex(){{ P(X = 1) = \frac{1}{6} }} --同じように、1以外の目が出る確率は、次のように表せる #mimetex(){{ P(X = 2) = \cdots = P(X = 6) =\frac{1}{6} }} --なお、&mimetex(\normalsize X = 1 ); という事象は、&mimetex(\normalsize \{ X = 1 \} ); とも表せる ***確率変数を用いた確率の計算 [#v9d53ecd] -サイコロを1回投げて、5以上の目が出る事象について考える --でた目が5の事象 &mimetex(\normalsize \{ X = 5 \} ); 、あるいは、でた目が6の事象 &mimetex(\normalsize \{ X = 6 \} ); になる --でた目が5以上の事象は、 &mimetex(\normalsize \{ X \geq 5 \} ); と表せる -したがって、でた目が5以上の事象は次のように書ける #mimetex(){{ \{ X \geq 5 \} = \{ X = 5 \} \cup \{ X = 6 \} }} --ただし、でた目が5になる事象と6になる事象は同時に起こらないので、排反事象である #mimetex(){{ \{ X = 5 \} \cup \{ X = 6 \} = \phi }} -排反事象の確率を求めるには、加法定理(排反前提の場合)を用いる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(X \geq 5) &=& P(X = 5) + P(X = 6) \\ &=& \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \\ &=& \frac{1}{3} \end{eqnarray} }} **確率分布 [#oe1835e2] ***確率変数に対応する確率 [#ib5d5938] -例えば、サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率は次のようになる #mimetex(){{ P(X = 1) = \cdots = P(X = 6) =\frac{1}{6} }} -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); のとる値と、それに対応する確率を表にまとめると、次のようになる |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c | &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計| |確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); | -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); に対応する確率の分布を、「''確率分布''」という -確率分布をまとめた表を、「''確率分布表''」という --確率分布は、ヒストグラム(縦棒グラフ)や折れ線グラフにすると視覚的にわかりやすくなる ***確率分布 [#i2146b6d] -一般に、確率変数 &mimetex(\normalsize X ); が、次のような n 個の値をとるとき、 #mimetex(){{ x_1, x_2, \cdots , x_n }} -その確率が次のようになるのであれば、 #mimetex(){{ P( X = x_k ) = p_k ( k = 1, 2, \cdots, n ) }} -次のことが成り立つ #mimetex(){{ \left\{ p_1 \geq 0, p_2 \geq 0, \cdots , p_n \geq 0 \\ p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1 \right. }} |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c | &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計| | 確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 | **確率分布の例 [#m602baf0] -サイコロを1回投げたときにでた目の数が奇数か偶数かを考える --奇数がでたときの確率変数を &mimetex(\normalsize Y = 0 ); 、偶数がでたときの確率変数を &mimetex(\normalsize Y = 01 ); とする --確率変数 &mimetex(\normalsize Y ); の確率分布は、次のようになる |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c | &mimetex(\normalsize Y ); |0|1|計| |確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); | -コインを1回投げたときに表が出るか裏が出るかを考える --表が出る回数を、確率変数 &mimetex(\normalsize X ); で表すと、その確率分布は次のようになる |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c | &mimetex(\normalsize X ); |0|1|計| |確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); | |