確率変数と確率分布 - 健康統計の基礎・健康統計学

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確率変数と確率分布

確率変数

確率変数とは

試行の結果、ある値をとる確率が決まる変数を、「確率変数」という
サイコロを1回投げる場合を考える
- サイコロの出た目の数 {1, 2, 3, 4, 5, 6} を $\normalsize X$ （確率変数）とする
  - 確率変数は大文字で書く
- $\normalsize X = 1$ （つまり1の目がでる）の事象の確率は、次のように表すことができる
  $P(X = 1) = \frac{1}{6}$
- 同じように、1以外の目が出る確率は、次のように表せる
  $P(X = 2) = \cdots = P(X = 6) =\frac{1}{6}$
- なお、 $\normalsize X = 1$ という事象は、 $\normalsize \{ X = 1 \}$ とも表せる

確率変数を用いた確率の計算

サイコロを1回投げて、5以上の目が出る事象について考える
- でた目が5の事象 $\normalsize \{ X = 5 \}$ 、あるいは、でた目が6の事象 $\normalsize \{ X = 6 \}$ になる
- でた目が5以上の事象は、 $\normalsize \{ X \geq 5 \}$ と表せる
したがって、でた目が5以上の事象は次のように書ける
$\{ X \geq 5 \} = \{ X = 5 \} \cup \{ X = 6 \}$
- ただし、でた目が5になる事象と6になる事象は同時に起こらないので、排反事象である
  $\{ X = 5 \} \cup \{ X = 6 \} = \phi$
排反事象の確率を求めるには、加法定理（排反前提の場合）を用いる
$\begin{eqnarray}P(X \geq 5) &=& P(X = 5) + P(X = 6) \\[10]&=& \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \\[10]&=& \frac{1}{3}\end{eqnarray}$

確率分布

確率変数に対応する確率

例えば、サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 $\normalsize X$ を使うと、その確率は次のようになる
$P(X = 1) = \cdots = P(X = 6) =\frac{1}{6}$
確率変数 $\normalsize X$ のとる値と、それに対応する確率を表にまとめると、次のようになる
$\normalsize X$ 1 2 3 4 5 6 計
確率 $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize 1$
確率変数 $\normalsize X$ に対応する確率の分布を、「確率分布」という
確率分布をまとめた表を、「確率分布表」という
- 確率分布は、ヒストグラム（縦棒グラフ）や折れ線グラフにすると視覚的にわかりやすくなる

確率分布

一般に、確率変数 $\normalsize X$ が、次のような n 個の値をとるとき、
$x_1, x_2, \cdots , x_n$
その確率が次のようになるのであれば、
$P( X = x_k ) = p_k ( k = 1, 2, \cdots, n )$
次のことが成り立つ
$\left\{ p_1 \geq 0, p_2 \geq 0, \cdots , p_n \geq 0 \\ p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1 \right.$

$\normalsize X$	$\normalsize x_1$	$\normalsize x_2$	$\normalsize \cdots$	$\normalsize x_n$	計
確率	$\normalsize p_1$	$\normalsize p_2$	$\normalsize \cdots$	$\normalsize p_n$	1

確率分布の例

サイコロを1回投げたときにでた目の数が奇数か偶数かを考える
- 奇数がでたときの確率変数を $\normalsize Y = 0$ 、偶数がでたときの確率変数を $\normalsize Y = 01$ とする
- 確率変数 $\normalsize Y$ の確率分布は、次のようになる
  $\normalsize Y$ 0 1 計
  確率 $\normalsize \frac{1}{2}$ $\normalsize \frac{1}{2}$ $\normalsize 1$
コインを1回投げたときに表が出るか裏が出るかを考える
- 表が出る回数を、確率変数 $\normalsize X$ で表すと、その確率分布は次のようになる
  $\normalsize X$ 0 1 計
  確率 $\normalsize \frac{1}{2}$ $\normalsize \frac{1}{2}$ $\normalsize 1$

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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 01:49:35 HADT (4448d)