TITLE:確率変数の期待値と分散 *確率変数の期待値と分散 [#q3c54df0] **期待値(平均値) [#ue6d97f0] ***期待値とは [#x797a328] -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の確率分布が次のようなとき、 |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c |~ &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計| |~確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 | -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の平均値、または期待値は、次のように表せる #mimetex(){{ \mu = E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n }} -期待値とは、1回の試行の結果として期待される値の大きさを表す ***期待値の計算例(1) [#s01a9426] -サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率分布は次のようになる |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c |~ &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計| |~確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); | -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の期待値(平均値)は、 &mimetex(\normalsize n = 6 ); なので、 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} x_1 = 1, \hspace{5} x_2 = 2, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} x_6 = 6 \\[10] p_1 = \frac{1}{6}, \hspace{5} p_2 = \frac{1}{6}, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} p_6 = \frac{1}{6} \end{eqnarray} }} -したがって、次のようになる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} E(X) &=& 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} \\[10] &=& \frac{21}{6} = 3.5 \end{eqnarray} }} -つまり、サイコロを何回も投げたときに、でた目の平均をとると 3.5 になることを示している ***期待値の計算例(2) [#i04aaec9] -サイコロを5回連続で投げたときに1の目が出る回数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); とすると、その確率分布は次のようになる |CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c |~ &mimetex(\normalsize X ); |0|1|2|3|4|5| |~確率|0.4019|0.4019|0.1608|0.0322|0.0032|0.0001| -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の期待値(平均値)は、 &mimetex(\normalsize n = 6 ); なので、 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} && x_1 = 0, \hspace{5} x_2 = 1, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} x_6 = 5 \\[10] && p_1 = 0.4019, \hspace{5} p_2 = 0.4019, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} p_6 = 0.0001 \end{eqnarray} }} -したがって、次のようになる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} E(X) &=& 0 \times 0.4019 + 1 \times 0.4019 + 2 \times 0.1608 + 3 \times 0.0322 + 4 \times 0.0032 + 5 \times 0.0001 \\[10] &\simeq& 0.83 \end{eqnarray} }} -つまり、サイコロを5回連続投げて1の目が出るのは1回あるかないか程度であることを示している ***期待値の計算例(3) [#b0e1b6c9] -宝くじの期待値を求めることもできる。宝くじの場合は「当せん金×当せん確率」の合計が期待値となる。 -例えば、平成21年年末ジャンボ宝くじは、1ユニット(1000万枚)あたり、次のような当せん本数になっている。なお、当せん確率は「当せん本数÷1000万×100」から求めている。 |CENTER:|RIGHT:|RIGHT:|RIGHT:|c |~等級|~当せん金|~当せん本数|~当せん確率| |1等|200,000,000円|1本|0.00001%| |1等前後賞|50,000,000円|2本|0.00002%| |1等組違い賞|100,000円|99本|0.00099%| |2等|100,000,000円|2本|0.00002%| |3等|5,000,000円|10本|0.0001%| |4等|100,000円|600本|0.006%| |5等|10,000円|10,000本|0.1%| |6等|3,000円|100,000本|1%| |7等|300円|1,000,000本|10%| |元気に2010年賞|1,000,000円|100本|0.001%| -宝くじがいくら当たるかの期待値を調べるには、「当せん金×当せん確率」の合計を求めるので、 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} E(X) &=& 200,000,000 \times 0.00001% + 50,000,000 \times 0.00002% + \cdots + 300 \times 10% + 1,000,000 \times 0.001% \\[10] &=& 141.99 \end{eqnarray} }} -つまり、宝くじ1枚(300円)を買うと、1枚につき141.99円の還元が期待できる、ということを示している。 ***期待値と算術平均との関係 [#k3778712] -n 個のデータ &mimetex(\normalsize x_1 , x_2 , \cdots , x_n ); の平均値は、次のように表せる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} \\[10] &=& x_1 \times \frac{1}{n} + x_2 \times \frac{1}{n} + \cdots + x_n \times \frac{1}{n} \end{eqnarray} }} -ここで確率について、&mimetex(\normalsize p_1 = \frac{1}{n} , p_2 = \frac{1}{n} , \cdots , p_n = \frac{1}{n} ); とおく、つまり各々の確率が等しいと考えると、 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \bar{x} &=& x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \\[10] &=& E(X) \end{eqnarray} }} -すなわち、各々の確率が等しくても等しくなくても、平均値(期待値)を求めることができる **分散と標準偏差 [#l8003537] ***確率変数の分散と標準偏差 [#h14c61d5] -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の確率分布が次のようなとき、 |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c |~ &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計| |~確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 | -確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の分散は次のように表す #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \sigma^2 = V(X) &=& (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n \\[10] &=& \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) p_i \end{eqnarray} }} - &mimetex(\normalsize \mu ); は期待値 &mimetex(\normalsize E(X) ); 簡単に表したもの -分散の正の平方根を、確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の標準偏差といい、次のように表す #mimetex(){{ \sigma = \sqrt{ V(X) } }} ***確率変数の分散と標準偏差の特徴 [#k32917a5] -分散や標準偏差が小さいほど、確率変数の値は平均に集中し、ばらつきが小さい -分散や標準偏差が大きいほど、確率変数の値は平均から離れ、ばらつきが大きい -分散は変数の単位の2乗を表す(例えば変数の単位がcmなら、分散の単位cm^2)ため、元の単位と同じ標準偏差を用いて平均からのばらつきを表す ***確率変数の分散と標準偏差の計算 [#v4532f58] -サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率分布は次のようになる |CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c |~ &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計| |~確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); | -したがって、分散は次のようにして求められる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \sigma^2 = V(X) &=& (1 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + \cdots + (6 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} \\[10] &=& \frac{35}{12} \simeq 2.92 \end{eqnarray} }} -また、標準偏差は次のようになる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} \sigma &=& \sqrt{ V(X) } \\[10] &=& \sqrt{ \frac{35}{12} } \simeq 1.71 \end{eqnarray} }} -つまり、サイコロを何回も投げたとき、そのでた目の平均が 3.5 ± 1.71 (1.79〜5.21)の範囲になる確率が高いことを示している |