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AND OR

確率変数の期待値と分散

期待値(平均値)

期待値とは

  • 確率変数 \normalsize X の確率分布が次のようなとき、
    \normalsize X\normalsize x_1\normalsize x_2\normalsize \cdots\normalsize x_n
    確率\normalsize p_1\normalsize p_2\normalsize \cdots\normalsize p_n1
  • 確率変数 \normalsize X の平均値、または期待値は、次のように表せる
    \mu = E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n
  • 期待値とは、1回の試行の結果として期待される値の大きさを表す

期待値の計算例(1)

  • サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 \normalsize X を使うと、その確率分布は次のようになる
    \normalsize X123456
    確率\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize 1
  • 確率変数 \normalsize X の期待値(平均値)は、 \normalsize n = 6 なので、
    \begin{eqnarray}x_1 = 1, \hspace{5} x_2 = 2, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} x_6 = 6 \\[10]p_1 = \frac{1}{6}, \hspace{5} p_2 = \frac{1}{6}, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} p_6 = \frac{1}{6}  \end{eqnarray}
  • したがって、次のようになる
    \begin{eqnarray}E(X) &=& 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} \\[10]&=& \frac{21}{6} = 3.5\end{eqnarray}
  • つまり、サイコロを何回も投げたときに、でた目の平均をとると 3.5 になることを示している

期待値の計算例(2)

  • サイコロを5回連続で投げたときに1の目が出る回数を確率変数 \normalsize X とすると、その確率分布は次のようになる
    \normalsize X012345
    確率0.40190.40190.16080.03220.00320.0001
  • 確率変数 \normalsize X の期待値(平均値)は、 \normalsize n = 6 なので、
    \begin{eqnarray}&& x_1 = 0, \hspace{5} x_2 = 1, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} x_6 = 5 \\[10]&& p_1 = 0.4019, \hspace{5} p_2 = 0.4019, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} p_6 = 0.0001  \end{eqnarray}
  • したがって、次のようになる
    \begin{eqnarray}E(X) &=& 0 \times 0.4019 + 1 \times 0.4019 + 2 \times 0.1608 + 3 \times 0.0322 + 4 \times 0.0032 + 5 \times 0.0001 \\[10]&\simeq& 0.83\end{eqnarray}
  • つまり、サイコロを5回連続投げて1の目が出るのは1回あるかないか程度であることを示している

期待値の計算例(3)

  • 宝くじの期待値を求めることもできる。宝くじの場合は「当せん金×当せん確率」の合計が期待値となる。
  • 例えば、平成21年年末ジャンボ宝くじは、1ユニット(1000万枚)あたり、次のような当せん本数になっている。なお、当せん確率は「当せん本数÷1000万×100」から求めている。
    等級当せん金当せん本数当せん確率
    1等200,000,000円1本0.00001%
    1等前後賞50,000,000円2本0.00002%
    1等組違い賞100,000円99本0.00099%
    2等100,000,000円2本0.00002%
    3等5,000,000円10本0.0001%
    4等100,000円600本0.006%
    5等10,000円10,000本0.1%
    6等3,000円100,000本1%
    7等300円1,000,000本10%
    元気に2010年賞1,000,000円100本0.001%
  • 宝くじがいくら当たるかの期待値を調べるには、「当せん金×当せん確率」の合計を求めるので、
    \begin{eqnarray}E(X) &=& 200,000,000 \times 0.00001% + 50,000,000 \times 0.00002% + \cdots + 300 \times 10% + 1,000,000 \times 0.001% \\[10]&=& 141.99\end{eqnarray}
  • つまり、宝くじ1枚(300円)を買うと、1枚につき141.99円の還元が期待できる、ということを示している。

期待値と算術平均との関係

  • n 個のデータ \normalsize x_1 , x_2 , \cdots , x_n の平均値は、次のように表せる
    \begin{eqnarray}\bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n}  \\[10]&=& x_1 \times \frac{1}{n} + x_2 \times \frac{1}{n} + \cdots + x_n \times \frac{1}{n}\end{eqnarray}
  • ここで確率について、\normalsize p_1 = \frac{1}{n} , p_2 = \frac{1}{n} , \cdots , p_n = \frac{1}{n} とおく、つまり各々の確率が等しいと考えると、
    \begin{eqnarray}\bar{x} &=& x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \\[10]&=& E(X)\end{eqnarray}
  • すなわち、各々の確率が等しくても等しくなくても、平均値(期待値)を求めることができる

分散と標準偏差

確率変数の分散と標準偏差

  • 確率変数 \normalsize X の確率分布が次のようなとき、
    \normalsize X\normalsize x_1\normalsize x_2\normalsize \cdots\normalsize x_n
    確率\normalsize p_1\normalsize p_2\normalsize \cdots\normalsize p_n1
  • 確率変数 \normalsize X の分散は次のように表す
    \begin{eqnarray}\sigma^2 = V(X) &=& (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n \\[10]&=& \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) p_i\end{eqnarray}
  • \normalsize \mu は期待値 \normalsize E(X) 簡単に表したもの
  • 分散の正の平方根を、確率変数 \normalsize X の標準偏差といい、次のように表す
    \sigma = \sqrt{ V(X) }

確率変数の分散と標準偏差の特徴

  • 分散や標準偏差が小さいほど、確率変数の値は平均に集中し、ばらつきが小さい
  • 分散や標準偏差が大きいほど、確率変数の値は平均から離れ、ばらつきが大きい
  • 分散は変数の単位の2乗を表す(例えば変数の単位がcmなら、分散の単位cm^2)ため、元の単位と同じ標準偏差を用いて平均からのばらつきを表す

確率変数の分散と標準偏差の計算

  • サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 \normalsize X を使うと、その確率分布は次のようになる
    \normalsize X123456
    確率\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize \frac{1}{6}\normalsize 1
  • したがって、分散は次のようにして求められる
    \begin{eqnarray}\sigma^2 = V(X) &=& (1 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2 - 3.5)^2  \times \frac{1}{6} + \cdots + (6 - 3.5)^2  \times \frac{1}{6} \\[10]&=& \frac{35}{12} \simeq 2.92\end{eqnarray}
  • また、標準偏差は次のようになる
    \begin{eqnarray}\sigma &=& \sqrt{ V(X) } \\[10]&=& \sqrt{ \frac{35}{12} } \simeq 1.71\end{eqnarray}
  • つまり、サイコロを何回も投げたとき、そのでた目の平均が 3.5 ± 1.71 (1.79〜5.21)の範囲になる確率が高いことを示している

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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 01:49:35 HADT (3757d)