健康統計の基礎・健康統計学 - 2012/11th/Calculated_by_Standardization の変更点

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TITLE:標準化を用いた確率の計算
*標準化を用いた確率の計算 [#ua0303a2]

**標準得点（標準正規分布の復習） [#pb83bb40]
平均が &mimetex(\normalsize \mu ); 、分散が &mimetex(\normalsize \sigma^2); の
''正規分布''から、
''標準正規分布''を導くときに、次の式を用いて''標準化''を行います。

#mimetex(){{
z = \frac{ x - \mu }{ \sigma }
}}

このときの &mimetex(\normalsize z); を、
''標準得点''（standardized score）といいます。

標準得点は、平均が0、分散が1の標準正規分布 &mimetex(\normalsize N(0,1)); にしたがいます。
#mimetex(){{
f(z) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } e^{ \frac{ z^2 }{ 2 } }
}}


**標準得点を使った確率の計算 [#h46cc708]
正規分布とみなされるデータを標準化すれば、
標準正規分布表を用いて、確率を計算することができます。

***例題 [#d144203c]
>
高校3年生のAさんの身長は175cmである。
Aさんが入学する、B大学の学生の身長について、
平均は182cmで、標準偏差は8.3cmである。
このとき、B大学の学生がAさんより身長が高い確率を求める。
<

***確率の求め方 [#jbfbdb3f]
+まず、B大学の学生の身長を &mimetex(\normalsize x); として、
標準得点を計算する。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
z &=& \frac{ x - \mu }{ \sigma } \\[10]
&=& \frac{ x - 182 } { 8.3 }
\end{eqnarray}
}}
+標準得点  &mimetex(\normalsize z); は標準正規分布にしたがうので、
標準正規分布表を用いて、確率を求める。&br;
「身長が175cmより大きい」ということは、
標準得点が次のようになるということである。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
z &>& \frac{ 175 - 182 } { 8.3 } \\[10]
&>& -0.843\cdots \\[10]
&\simeq& -0.84
\end{eqnarray}
}}
+したがって、「身長が175cmより大きい」確率 &mimetex(\normalsize P(z > -0.84) ); は、標準正規分布表から &mimetex(\normalsize z = -0.84); の値を求めればよい。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
P(x > 175) &\simeq& P(z > -0.84) \\[10] 
&=& 1 - P(z \leq 0.84) \\[10]
&\simeq& 1 - 0.2005 \\[10]
&\simeq& 0.80
\end{eqnarray}
}}

つまり、「B大学の学生がAさんより身長が高い確率」は約80%（0.8）となる。