健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/9th/Population_Rate の変更点

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TITLE:母比率の推定
*母比率の推定 [#zd6688f2]
母集団から抽出した標本をもとに母集団の比率（母比率）を区間推定する
--選挙前の候補者の支持率を推定
--好き嫌いのようなアンケート調査から全体の傾向を推定できる

**正規分布による近似（標本数の多い場合） [#qde08fed]
-二項分布（ある事象が起こるか起こらないかの確率の分布）は、試行回数 &mimetex(\normalsize n ); が十分大きい場合、正規分布に近似できることを利用
-母集団のある事象について、 &mimetex(\normalsize n ); 回の試行（標本の大きさが &mimetex(\normalsize n ); ）の標本の比率（標本比率）を  &mimetex(\normalsize \bar{p} ); とするとき
-母比率 &mimetex(\normalsize p ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
#mimetex(){{
\bar{p} - z( \alpha / 2) \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } \leq p \leq \bar{p} + z( \alpha / 2) \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n }
\bar{p} - z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \hspace{5} \leq \hspace{5} p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} + z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } }
}}
--なお、標本比率を &mimetex(\normalsize \bar{p} = \frac{X}{n} ); とすると、その平均 &mimetex(\normalsize E( \bar{p} )); と分散 &mimetex(\normalsize V( \bar{p} )); は、次のようになる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
E( \bar{p} ) &=& E ( \frac{X}{n} ) = \frac{1}{n} E(X) = \frac{1}{n} np \\
&=& p \\
V( \bar{p} ) &=& V ( \frac{X}{n} ) = \frac{1}{n^2} V(X) = \frac{1}{n^2} np(1-p) \\
&=& \frac{p(1-p)}{n}
\end{eqnarray}
}}


**正規分布による近似（標本数の少ない場合） [#vbab27d4]
-大きさが &mimetex(\normalsize N ); 母集団のある事象について、 大きさが &mimetex(\normalsize n ); ）の標本の比率（標本比率）を  &mimetex(\normalsize \bar{p} ); とするとき
-母比率 &mimetex(\normalsize p ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
#mimetex(){{
\bar{p} - z( \alpha / 2) \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } \leq p \leq \bar{p} + z( \alpha / 2) \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} }
\bar{p} - z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } \hspace{5} \leq \hspace{5} p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} + z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} }
}}
-最初の式（標本数が多い場合の式）より近似の精度が良い（母比率に近い値になる）

**F分布から算出（標本数の少ない場合） [#g046efcb]
-母集団のある事象について、 &mimetex(\normalsize n ); 回の試行（標本の大きさが &mimetex(\normalsize n ); ）の標本の比率（標本比率）を  &mimetex(\normalsize \frac{x}{n} ); とするとき
-母比率 &mimetex(\normalsize p ); の信頼度 100(1-α)% の信頼限度は次のとおり
--信頼上限 :
#mimetex(){{
\frac{m_1 F_U}{m_1 F_U + m_2} , \hspace{10} m_1 = 2(x+1), \hspace{10} m_2 = 2(n-x)
}}
---第1自由度 &mimetex(\normalsize m_1 ); 、第2自由度 &mimetex(\normalsize m_2 ); に対応するF分布の値を &mimetex(\normalsize F_U ); とする
--信頼下限 :
#mimetex(){{
\frac{n_2 F_U}{n_1 F_U + n_2} , \hspace{10} n_1 = 2(n-x+1), \hspace{10} n_2 = 2x
}}
---第1自由度 &mimetex(\normalsize n_1 ); 、第2自由度 &mimetex(\normalsize n_2 ); に対応するF分布の値を &mimetex(\normalsize F_L ); とする