健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/9th/Population_Mean の変更点

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TITLE:母平均の区間推定
*母平均の区間推定 [#j49d7c4f]
母集団から抽出した標本をもとに母集団の平均（母平均）を区間推定する
--大卒100人の初任給のデータからすべての大卒の初任給の平均を推定
--あるクラスの男子の身長のデータから日本全体の同年代の男子の身長の平均を推定


**母分散が既知の場合 [#h5f914b9]
-分散が &mimetex(\normalsize \sigma^2 ); 母集団から抽出した大きさ &mimetex(\normalsize n ); の標本の平均（標本平均）が  &mimetex(\normalsize \bar{x} ); であるとき
-母平均（母集団の平均） &mimetex(\normalsize \mu ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
#mimetex(){{
\bar{x} - z( \alpha / 2) \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \leq \mu \leq \bar{x} + z( \alpha / 2) \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} }
}}
--なお &mimetex(\normalsize z ); は次のように標準化した統計量で、標準正規分布にしたがう
#mimetex(){{
z = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } }
}}
-標本平均 &mimetex(\normalsize \bar{x} ); の分布は正規分布にしたがい（中心極限定理より）、平均は &mimetex(\normalsize \mu ); 、 &mimetex(\normalsize \frac{ \sigma^2}{n} ); となる
-標本数が多い場合にも使う



**母分散が未知の場合（t推定） [#j4707223]
-母標準偏差 &mimetex(\normalsize \sigma ); のかわりに、標本標準偏差 &mimetex(\normalsize s ); を用いる
--分散は不偏分散になる
#mimetex(){{
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})
}}

-母集団から抽出した大きさ &mimetex(\normalsize n ); の標本の平均（標本平均）が  &mimetex(\normalsize \bar{x} ); 、分散（不偏分散）&mimetex(\normalsize s^2 ); がであるとき
-母平均 &mimetex(\normalsize \mu ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
#mimetex(){{
\bar{x} - t(n-1, \alpha / 2) \frac{ s }{ \sqrt{n} } \leq \mu \leq \bar{x} + t(n-1, \alpha / 2) \frac{ s }{ \sqrt{n} }
}}
--&mimetex(\normalsize t ); は次のように標準化した統計量で、t分布にしたがう
#mimetex(){{
t = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ s }{ \sqrt{n} } }
}}
--&mimetex(\normalsize t(n-1, \alpha / 2) ); は、自由度 n-1、確率α/2 のtの値
-標本数が少ない場合にも用いる
--自由度（すなわち標本数）が増えれば、t分布が正規分布に近づくので、母分散が基地の場合と同じになる