健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/12th/Welch's_Test の変更点

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TITLE:対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が未知で等しくない）
*対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が未知で等しくない） [#abcaaf36]

**検定の対象 [#i36c0164]
対応のない（独立した）2つの母集団について考える。それぞれの母数は次のとおり。
ただし、母分散の値はわからない。
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~母集団1|~母集団2|
|~母平均|&mimetex(\normalsize \mu_1);|&mimetex(\normalsize \mu_2);|
|~標本の標本数|&mimetex(\normalsize n_1 );|&mimetex(\normalsize n_2 );|
|~標本平均|&mimetex(\normalsize \bar{x}_1 );|&mimetex(\normalsize \bar{x}_2 );|
|~標本分散|&mimetex(\normalsize {s_1}^2 );|&mimetex(\normalsize {s_2}^2 );|

なお、標本平均は不偏分散から求める。
#mimetex(){{
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
}}

**等分散の検定（F検定） [#m757343b]
等分散の検定の結果、&mimetex(\normalsize F_0 \geq F); ならば、母分散は未知で「等しくない」場合に、この検定を使う


**Welchの検定 [#h1a6969b]
-標本数の和が &mimetex(\normalsize n_1 + n_2 > 100); の場合にも使われることがある
-2組の母集団の分散が2倍以上違う場合や、標本数が2倍上違う場合に使われることがあり、やや特殊な検定法である


***帰無仮説と対立仮説 [#u7368b75]
対応のない（独立した）2組の母集団の平均に差があるかどうかを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の母集団の平均に差はない」 : &mimetex(\normalsize \mu_1 = \mu_2);
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の母集団の平均に差がある」 :  &mimetex(\normalsize \mu_1 \neq \mu_2);

***検定統計量の算出 [#ced84f2a]
-t分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize t_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
t_0 = \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} } }
}}
-なお、自由度は次のように算出する（整数にならない場合は、小数点以下を切り捨て）
#mimetex(){{
df = \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)  \div \left\{ \frac{ \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} \right)^2 }{n_1 - 1} + \frac{ \left( \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2 }{n_2 - 1}  \right\}
df = \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2  \div \left\{ \frac{ \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} \right)^2 }{n_1 - 1} + \frac{ \left( \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2 }{n_2 - 1}  \right\}
}}
--自由度の計算が複雑なので、あまりおススメの方法とはいえない…

**仮説の判定（両側検定） [#q81f9f97]
-検定統計量 &mimetex(\normalsize t_0 ); と、自由度 &mimetex(\normalsize df); 、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（t分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |t_0| > t(df , \alpha/2));
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |t_0| < t(df , \alpha/2));
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」


**例題 [#db253e0d]
-女子大学生にデートに臨むときのハイヒールの高さを聞いたところ、自分を「おしゃれ」と答えた24人のハイヒールの高さの平均は3.67cm、標準偏差は1.69cmであった。また、自分を「普通」と答えた48人のハイヒールの高さの平均は2.77cm、標準偏差は1.29cmであった。「おしゃれ」と答えた人たちと「普通」と答えた人たちとでハイヒールの高さに差はあるか？