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AND OR

対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が未知で等しくない）

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検定の対象

対応のない（独立した）2つの母集団について考える。それぞれの母数は次のとおり。 ただし、母分散の値はわからない。

 母集団1母集団2
母平均\normalsize \mu_1\normalsize \mu_2
標本の標本数\normalsize n_1\normalsize n_2
標本平均\normalsize \bar{x}_1\normalsize \bar{x}_2
標本分散\normalsize {s_1}^2\normalsize {s_2}^2

なお、標本平均は不偏分散から求める。

s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
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等分散の検定（F検定）

等分散の検定の結果、\normalsize F_0 \geq F ならば、母分散は未知で「等しくない」場合に、この検定を使う

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Welchの検定

  • 標本数の和が \normalsize n_1 + n_2 > 100 の場合にも使われることがある
  • 2組の母集団の分散が2倍以上違う場合や、標本数が2倍上違う場合に使われることがあり、やや特殊な検定法である
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帰無仮説と対立仮説

対応のない（独立した）2組の母集団の平均に差があるかどうかを調べる。

  • 帰無仮説 \normalsize H_{0} は「2組の母集団の平均に差はない」 : \normalsize \mu_1 = \mu_2
  • 対立仮説 \normalsize H_{1} は「2組の母集団の平均に差がある」 : \normalsize \mu_1 \neq \mu_2
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検定統計量の算出

  • t分布にしたがう、検定統計量 \normalsize t_0 を次の式から算出する
    t_0 = \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} } }
  • なお、自由度は次のように算出する（整数にならない場合は、小数点以下を切り捨て）
    df = \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2 \div \left\{ \frac{ \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} \right)^2 }{n_1 - 1} + \frac{ \left( \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2 }{n_2 - 1} \right\}
    • 自由度の計算が複雑なので、あまりおススメの方法とはいえない…
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仮説の判定（両側検定）

  • 検定統計量 \normalsize t_0 と、自由度 \normalsize df 、有意水準 \normalsize \alpha の有意点の値（t分布表などから求める）を使って、判定をする
    • 帰無仮説 \normalsize H_{0} を棄却 : \normalsize |t_0| > t(df , \alpha/2)
      • 「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
    • 帰無仮説 \normalsize H_{0} を採択 : \normalsize |t_0| < t(df , \alpha/2)
      • 「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」
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例題

  • 女子大学生にデートに臨むときのハイヒールの高さを聞いたところ、自分を「おしゃれ」と答えた24人のハイヒールの高さの平均は3.67cm、標準偏差は1.69cmであった。また、自分を「普通」と答えた48人のハイヒールの高さの平均は2.77cm、標準偏差は1.29cmであった。「おしゃれ」と答えた人たちと「普通」と答えた人たちとでハイヒールの高さに差はあるか？
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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 19:49:35 JST (3692d)