健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/12th/Mean_Test の変更点

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TITLE:対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が既知）
*対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が既知） [#m467b232]

**検定の対象 [#i7e1be8c]
対応のない（独立した）2つの母集団について考える。それぞれの母数は次のとおり。
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~母集団1|~母集団2|
|~母平均|&mimetex(\normalsize \mu_1);|&mimetex(\normalsize \mu_2);|
|~母分散|&mimetex(\normalsize {\sigma_1}^2 );|&mimetex(\normalsize {\sigma_2}^2 );|
|~標本の標本数|&mimetex(\normalsize n_1 );|&mimetex(\normalsize n_2 );|
|~標本平均|&mimetex(\normalsize \bar{x}_1 );|&mimetex(\normalsize \bar{x}_2 );|


**平均値の差のz検定 [#h1a6969b]
-標本数の和が &mimetex(\normalsize n_1 + n_2 \geq 100); の場合にも使われることがある

***帰無仮説と対立仮説 [#u7368b75]
対応のない（独立した）2組の母集団の平均に差があるかどうかを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の母集団の平均に差はない」 : &mimetex(\normalsize \mu_1 = \mu_2);
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の母集団の平均に差がある」 :  &mimetex(\normalsize \mu_1 \neq \mu_2);

***検定統計量の算出 [#ced84f2a]
-標本平均の差は、第1組の標本平均から第2組の標本平均の差になる
#mimetex(){{
\bar{x}_1 - \bar{x}_2
}}
-標本平均の差の分散は、各組の母分散を標本数で割ったものの総和になる
#mimetex(){{
\sigma_{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }^2 = \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_1} + \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_2}
}}
--なお、標本平均の差の分散の平方根をとったものを、「標本平均の差の標準誤差」という
-これらの式から、標準正規分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
z_0 = \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_1} + \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_2} } }
}}

***仮説の判定（両側検定） [#q81f9f97]
-検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); と、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（標準正規分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |z_0| > z(\alpha/2));
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |z_0| < z(\alpha/2));
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」


**例題 [#d649c14a]
-ある製品の製造工程で、ある1週間に製造された製品200個の重さの平均は530g、標準偏差は6gであった。次の1週間に製造された製品180個の重さの平均は529g、標準偏差は5gであった。これらの結果から、それぞれの週に作られた製品の重さの平均に差はあるか？