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AND OR

対応のない2組の平均値の差の検定(母分散が既知)

検定の対象

対応のない(独立した)2つの母集団について考える。それぞれの母数は次のとおり。

 母集団1母集団2
母平均\normalsize \mu_1\normalsize \mu_2
母分散\normalsize {\sigma_1}^2\normalsize {\sigma_2}^2
標本の標本数\normalsize n_1\normalsize n_2
標本平均\normalsize \bar{x}_1\normalsize \bar{x}_2

平均値の差のz検定

  • 標本数の和が \normalsize n_1 + n_2 \geq 100 の場合にも使われることがある

帰無仮説と対立仮説

対応のない(独立した)2組の母集団の平均に差があるかどうかを調べる。

  • 帰無仮説 \normalsize H_{0} は「2組の母集団の平均に差はない」 : \normalsize \mu_1 = \mu_2
  • 対立仮説 \normalsize H_{1} は「2組の母集団の平均に差がある」 : \normalsize \mu_1 \neq \mu_2

検定統計量の算出

  • 標本平均の差は、第1組の標本平均から第2組の標本平均の差になる
    \bar{x}_1 - \bar{x}_2
  • 標本平均の差の分散は、各組の母分散を標本数で割ったものの総和になる
    \sigma_{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }^2 = \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_1} + \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_2}
    • なお、標本平均の差の分散の平方根をとったものを、「標本平均の差の標準誤差」という
  • これらの式から、標準正規分布にしたがう、検定統計量 \normalsize z_0 を次の式から算出する
    z_0 = \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_1} + \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_2} } }

仮説の判定(両側検定)

  • 検定統計量 \normalsize z_0 と、有意水準 \normalsize \alpha の有意点の値(標準正規分布表などから求める)を使って、判定をする
    • 帰無仮説 \normalsize H_{0} を棄却 : \normalsize |z_0| > z(\alpha/2)
      • 「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
    • 帰無仮説 \normalsize H_{0} を採択 : \normalsize |z_0| < z(\alpha/2)
      • 「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」

例題

  • ある製品の製造工程で、ある1週間に製造された製品200個の重さの平均は530g、標準偏差は6gであった。次の1週間に製造された製品180個の重さの平均は529g、標準偏差は5gであった。これらの結果から、それぞれの週に作られた製品の重さの平均に差はあるか?

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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 00:49:35 HAST (3636d)