対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が既知） - 健康統計の基礎・健康統計学

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対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が既知）

検定の対象

対応のない（独立した）2つの母集団について考える。それぞれの母数は次のとおり。

	母集団1	母集団2
母平均	$\normalsize \mu_1$	$\normalsize \mu_2$
母分散	$\normalsize {\sigma_1}^2$	$\normalsize {\sigma_2}^2$
標本の標本数	$\normalsize n_1$	$\normalsize n_2$
標本平均	$\normalsize \bar{x}_1$	$\normalsize \bar{x}_2$

平均値の差のz検定

標本数の和が $\normalsize n_1 + n_2 \geq 100$ の場合にも使われることがある

帰無仮説と対立仮説

対応のない（独立した）2組の母集団の平均に差があるかどうかを調べる。

帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ は「2組の母集団の平均に差はない」 : $\normalsize \mu_1 = \mu_2$
対立仮説 $\normalsize H_{1}$ は「2組の母集団の平均に差がある」 : $\normalsize \mu_1 \neq \mu_2$

検定統計量の算出

標本平均の差は、第1組の標本平均から第2組の標本平均の差になる
$\bar{x}_1 - \bar{x}_2$
標本平均の差の分散は、各組の母分散を標本数で割ったものの総和になる
$\sigma_{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }^2 = \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_1} + \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_2}$
- なお、標本平均の差の分散の平方根をとったものを、「標本平均の差の標準誤差」という
これらの式から、標準正規分布にしたがう、検定統計量 $\normalsize z_0$ を次の式から算出する
$z_0 = \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_1} + \frac{ {\sigma_1}^2 }{n_2} } }$

仮説の判定（両側検定）

検定統計量 $\normalsize z_0$ と、有意水準 $\normalsize \alpha$ の有意点の値（標準正規分布表などから求める）を使って、判定をする
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を棄却 : $\normalsize |z_0| > z(\alpha/2)$
  - 「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を採択 : $\normalsize |z_0| < z(\alpha/2)$
  - 「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」

例題

ある製品の製造工程で、ある1週間に製造された製品200個の重さの平均は530g、標準偏差は6gであった。次の1週間に製造された製品180個の重さの平均は529g、標準偏差は5gであった。これらの結果から、それぞれの週に作られた製品の重さの平均に差はあるか？

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