2009/3rd/Dispersion のバックアップ(No.5) - 健康統計の基礎・健康統計学

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散布度（dispersion）

代表値のほかに、重要な特性値として「散布度」がある。
平均値にたいして、どれくらいデータが散らばっているかを示す。
- 分布の裾の広がり具合、集中の度合い

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標準偏差

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偏差

偏差 D （または d）は、各データと平均との差。
- ＋の偏差と−の偏差があるため、偏差の合計は0になる。
  $D=\bar{x} - x_i$

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分散(variance)と標準偏差(standard deviation)

分散 $\normalsize s^2$ （または $\normalsize \delta^2$ ）は、偏差平方和（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたもの。
- 全データの平均からのバラツキの程度を示す。
  $s^2=\frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n}$
  
  $\dpi{300} s^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n}$
  
  $\displaystyle \normalsize s^2=\frac{\sum_{i=1}^n ( \bar{x}-x_i )^2}{n}$

標準偏差 $\normalsize s$ は、分散の平方根を求めたもの
- 全データの平均からのバラツキの程度を示す（単位はデータと同じ）。
- 標準偏差は、代表的な散布度である。
  $s=\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n} }$
  
  $s=\sqrt{ \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n} }$

母集団（対象となる全体）の分散や標準偏差を求める場合は、上の式を用いる。

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不偏分散と不偏標準偏差

不偏分散 $\normalsize U^2$ は、偏差平方和（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたもの。
分母は、「標本数-1」となる。
- 全データの平均からのバラツキの程度を示す。
  $U^2=\frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n-1}$

不偏標準偏差 $\normalsize U$ は、分散の平方根を求めたもの
- 全データの平均からのバラツキの程度を示す（単位はデータと同じ）。
- 標準偏差は、代表的な散布度である。
  $U=\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n-1} }$

母集団（対象となる全体）ではなく、標本（対象の一部）の分散や標準偏差を求める場合は、上の式を用いる。

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標準偏差の和

n組の資料があるとき、資料全体の標準偏差は次のようになる。

$s_{T}=\left( \frac{\sum_{i=1}^{n}N_{i}\left(\ V_{i}+D_{i}^2 \right)}{\sum_{i=1}^{n}N_i} \right)^{1/2}$

$\normalsize s_{T}$ …全体の標準偏差
$\normalsize N_i$ …i組目の資料の標本数
$\normalsize V_i$ …i組目の資料の分散
$\normalsize D_i$ …i組目の資料の偏差

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範囲

範囲 R は、最大値 $\normalsize x_{max}$ と最小値 $\normalsize x_{min}$ との差で示される。
ハズレ値の影響を受けやすい

$R=x_{max}-x_{min}$

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四分位偏差

四分位偏差は、変動の目安に利用される
ハズレ値や観測数に影響されにくい

　四分位偏差=(第3四分位数-第1四分位数）/2

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平均偏差

平均偏差 $\normalsize M_{dev}$ は、偏差の絶対値を平均したもの。

$M_{dev}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left| D_i \right|$

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変異係数

変異（変動）係数 C は、標準偏差を平均で割ったもの。
- 標準偏差の平均に対する割合を示す（%表示）。
変異係数は相対的な散布度（無名数で単位はない）。

$C = s / \bar{x}$

2つの系列を比較するとき、次のような場合は、相対的散布度が有利
- 双方の単位が同じで、平均がほぼ等しい
- 双方の単位は同じだが、平均が違う
- 双方の単位が違う

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