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健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/3rd/代表値のバックアップ(No.5)

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2009/3rd/代表値へ行く。
- 1 (2010-03-17 (水) 09:17:07)
- 2 (2010-03-17 (水) 13:07:17)
- 3 (2010-03-17 (水) 14:24:01)
- 4 (2010-03-20 (土) 12:01:15)
- 5 (2010-03-20 (土) 13:45:28)

代表値（average）

データの分布などの特徴を示す数値（特性値）を「代表値」という。
データ全体をひとつの値で代表させる値である。

平均値（mean）

算術平均（arithmetic mean）

算術平均 $\normalsize \bar{x}$ は、データをすべて足しあわせ、標本数で割ったもの。
平均値でもっとも一般的。
$\dpi{600}\small \parstyle\begin{eqnarray*} e_{ij} &=& n \times \frac{ n_{i \cdot} }{n} \times \frac{ n_{{\cdot} j} }{n} \\ &=& \frac{ n_{i \cdot} n_{{\cdot} j} }{ n } \end{eqnarray*}$

$\Large{Mo} = l_m + \frac{ f_{m+1} }{ f_{m-1} + f_{m} } \times h$

算術平均（arithmetic mean）

算術平均 $\normalsize \bar{x}$ は、データをすべて足しあわせ、標本数で割ったもの。
平均値でもっとも一般的。
$\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

幾何平均（geometric mean）

幾何平均 $\normalsize Gm$ は、各変数の積に対して標本数のべき根を求めたもの。
${Gm} = \left( \prod_{i=1}^{n}x_i \right)^{1/2}$

算術平均（arithmetic mean）

算術平均 $\normalsize \bar{x}$ は、データをすべて足しあわせ、標本数で割ったもの。
平均値でもっとも一般的。
$\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{n}$

幾何平均（geometric mean）

幾何平均 $\normalsize Gm$ は、各変数の積に対して標本数のべき根を求めたもの。
$Gm = \left( \prod_{i=1}^{n}x_i \right)^{1/2}$
幾何平均の例
- 5年間の物価上昇率が7％のとき、1年の平均上昇率は何％か？
- 過去3年間の売上高の対前年比が120%、110%、130%のとき、平均の売上高の伸びは？

調和平均（harmonic mean）

調和平均 $\normalsize Hm$ は、標本数を各変数の逆数の和で割ったもの。
$Hm = \frac{ n }{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} }$
調和平均の例
- 山頂まで6kmの道のりを、往きは2km/hで、帰りは6km/hで歩いたとき、平均の速さはいくらか？
- 車でドライブをして、最初の24kmは30km/h、次の24kmは40km/h、最後の24kmは60km/hで走った時、平均速度はいくらか？

中央値（median）

中央値（中位数）

中央値 $\normalsize Me$ は、データを大きさの順に並べたときに、中央にくる値のことである。
- データ数が奇数のときは中央にくるデータの値になる。
- データ数が偶数のときは中央にある2つのデータの平均の値になる。
  $Me = \left{ x_m\text{ if $n$ odd, $m=(n+1)/2$ } \\\frac{ x_m + x_{m+1} }{2} \text{ if $n$ even, $m=n/2$ }\right.$

度数分布表がある場合は、階級や度数などから中央値を求めることもできる。
$Me = l_m + \left( \frac{n}{2} - F \right) \frac{h}{f_m}$
- $\normalsize n$ …標本数
- $\normalsize h$ …階級幅
- $\normalsize l_m$ …m番目の階級の下限値
- $\normalsize f_m$ …m組目の階級の度数
- $\normalsize F$ …m-1番目までの累積度数

四分位数（quartile）

四分位数は、ヒストグラムの面積を1/4ずつに分ける値である。
- 中央値は、ヒストグラムの面積を半分に分ける値。
小さいほうから、第1、第2、第3四分位数という。
- 中央値は、第2四分位数になる。

百分位数（percentile）

百分位数（パーセンタイル値）は、ヒストグラムの面積を1/100ずつに分ける値である。
- 25パーセンタイル値は第1四分位数である。
- 50パーセンタイル値は中央値（で第2四分位数でもある）。
度数分布表がある場合は、階級や度数などからパーセンタイル値pを求めることもできる。
$p = l_m + \left( \frac{n \times p}{100} - F \right) \frac{h}{f_m}$
- $\normalsize n$ …標本数
- $\normalsize h$ …階級幅
- $\normalsize l_m$ …m番目の階級の下限値
- $\normalsize f_m$ …m組目の階級の度数
- $\normalsize F$ …m-1番目までの累積度数

最頻値（mode）

最頻値 $\normalsize Mo$ は、データのなかで最も多く出てくる値のことである。
- 度数分布表がある場合は、もっとも度数の多い階級値を最頻値とする。
元のデータから最頻値を求める場合は、度数分布表から最頻値を求めることができる。
$Mo = l_m + \frac{ f_{m+1} }{ f{m-1} + f{m} } \times h$
- $\normalsize m$ …最大度数の階級
- $\normalsize h$ …階級幅
- $\normalsize l_m$ …m番目の階級の下限値
- $\normalsize f_m$ …m組目の階級の度数

代表値の特性

平均値はすべてのデータを反映している。
- ハズレ値（極端に飛び離れたデータ）があるとその影響を受けやすいため、ハズレ値の考慮が必要。
中央値（四分位数や百分位数も）は分布上の位置（中央など）を示す。
- ハズレ値の影響を受けにくく、分布に偏りがある場合に優れている。
最頻値は、「データの多くはこのあたりにある」という説明をするのにわかりやすい。
- ハズレ値の影響を受けにくい。

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