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代表値（average）

  • データの分布などの特徴を示す数値（特性値）を「代表値」という。
  • データ全体をひとつの値で代表させる値である。
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平均値（mean）

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算術平均（arithmetic mean）

  • 算術平均 \normalsize\dpi{200} \bar{x} は、データをすべて足しあわせ、標本数で割ったもの。
  • 平均値でもっとも一般的。
    \dpi{300}\tiny \bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
    \dpi{300}\scriptsize \bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
    \dpi{300}\footnotesize \bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
    \dpi{300}\small \bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
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幾何平均（geometric mean）

  • 幾何平均 \normalsize Gm は、各変数の積に対して標本数のべき根を求めたもの。
    {Gm} = \left( \prod_{i=1}^{n}x_i \right)^{1/2}
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算術平均（arithmetic mean）

  • 算術平均 \normalsize \bar{x} は、データをすべて足しあわせ、標本数で割ったもの。
  • 平均値でもっとも一般的。
    \bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{n}
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幾何平均（geometric mean）

  • 幾何平均 \normalsize Gm は、各変数の積に対して標本数のべき根を求めたもの。
    Gm = \left( \prod_{i=1}^{n}x_i \right)^{1/2}
  • 幾何平均の例
    • 5年間の物価上昇率が7％のとき、1年の平均上昇率は何％か？
    • 過去3年間の売上高の対前年比が120%、110%、130%のとき、平均の売上高の伸びは？
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調和平均（harmonic mean）

  • 調和平均 \normalsize Hm は、標本数を各変数の逆数の和で割ったもの。
    Hm = \frac{ n }{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} }
  • 調和平均の例
    • 山頂まで6kmの道のりを、往きは2km/hで、帰りは6km/hで歩いたとき、平均の速さはいくらか？
    • 車でドライブをして、最初の24kmは30km/h、次の24kmは40km/h、最後の24kmは60km/hで走った時、平均速度はいくらか？
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中央値（median）

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中央値（中位数）

  • 中央値 \normalsize Me は、データを大きさの順に並べたときに、中央にくる値のことである。
    • データ数が奇数のときは中央にくるデータの値になる。
    • データ数が偶数のときは中央にある2つのデータの平均の値になる。
      Me = \left{ x_m\text{ if $n$ odd, $m=(n+1)/2$ } \\\frac{ x_m + x_{m+1} }{2} \text{ if $n$ even, $m=n/2$ }\right.
  • 度数分布表がある場合は、階級や度数などから中央値を求めることもできる。
    Me = l_m + \left( \frac{n}{2} - F \right) \frac{h}{f_m}
    • \normalsize n …標本数
    • \normalsize h …階級幅
    • \normalsize l_m …m番目の階級の下限値
    • \normalsize f_m …m組目の階級の度数
    • \normalsize F …m-1番目までの累積度数
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四分位数（quartile）

  • 四分位数は、ヒストグラムの面積を1/4ずつに分ける値である。
    • 中央値は、ヒストグラムの面積を半分に分ける値。
  • 小さいほうから、第1、第2、第3四分位数という。
    • 中央値は、第2四分位数になる。
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百分位数（percentile）

  • 百分位数（パーセンタイル値）は、ヒストグラムの面積を1/100ずつに分ける値である。
    • 25パーセンタイル値は第1四分位数である。
    • 50パーセンタイル値は中央値（で第2四分位数でもある）。
  • 度数分布表がある場合は、階級や度数などからパーセンタイル値pを求めることもできる。
    p = l_m + \left( \frac{n \times p}{100} - F \right) \frac{h}{f_m}
    • \normalsize n …標本数
    • \normalsize h …階級幅
    • \normalsize l_m …m番目の階級の下限値
    • \normalsize f_m …m組目の階級の度数
    • \normalsize F …m-1番目までの累積度数
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最頻値（mode）

  • 最頻値 \normalsize Mo は、データのなかで最も多く出てくる値のことである。
    • 度数分布表がある場合は、もっとも度数の多い階級値を最頻値とする。
  • 元のデータから最頻値を求める場合は、度数分布表から最頻値を求めることができる。
    Mo = l_m + \frac{ f_{m+1} }{ f{m-1} + f{m} } \times h
    • \normalsize m …最大度数の階級
    • \normalsize h …階級幅
    • \normalsize l_m …m番目の階級の下限値
    • \normalsize f_m …m組目の階級の度数
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代表値の特性

  • 平均値はすべてのデータを反映している。
    • ハズレ値（極端に飛び離れたデータ）があるとその影響を受けやすいため、ハズレ値の考慮が必要。
  • 中央値（四分位数や百分位数も）は分布上の位置（中央など）を示す。
    • ハズレ値の影響を受けにくく、分布に偏りがある場合に優れている。
  • 最頻値は、「データの多くはこのあたりにある」という説明をするのにわかりやすい。
    • ハズレ値の影響を受けにくい。
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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 19:49:35 JST (3693d)