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健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/5th/Probability のバックアップ(No.4)

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2009/5th/Probability へ行く。
- 1 (2009-05-10 (日) 06:58:25)
- 2 (2009-05-10 (日) 08:09:00)
- 3 (2009-05-10 (日) 14:20:51)
- 4 (2009-05-12 (火) 07:22:36)
- 5 (2009-05-12 (火) 08:59:06)

確率

事象

あることが起こった結果を、「事象」という
- 事象Aを $\normalsize A$ と書く
- 全体の事象のことを「全事象」 $\normalsize \Omega$ と書く
- 決して起こらないことを「空事象」 $\normalsize \phi$ と書く

確率

「確率」とは、あることが起こる結果の割合、つまり起こりやすさの目安である
- ある事象 A が起こる確率を、 $\normalsize P(A)$ と書く
  - 確率は、0から1の間の値をとる
    $0 \leq P(A) \leq 1$
- 全事象の確率は $\normalsize P( \Omega ) = 1$ となる
- 空事象の確率は $\normalsize P( \phi ) = 0$ と書く

数学的確率

あることが起こる結果が何通りあるかを元にしてだす確率を、「数学的確率」という
例えば…
- サイコロの目の出方は6通り
- →3の目が出る確率は 1/6
事象Aの確率は、事象Aの起こる場合の数 a を、すべての場合の数（何通りあるかすべて数えたもの）N で割ったものである
$P(A) = \frac{a}{N}$

統計的確率

実際に起こった結果を元にしてだす確率を、「統計的確率」という
例えば…
- 実際にサイコロを60回投げたら、3の目が13回出た
- →この時点での、3の目が出た確率は 13/60
事象Aの確率は、事象Aの起こった回数 r を、すべての起こった回数 n で割ったものである
$P(A) = \frac{r}{n}$

大数の法則

試行（あることを実施）する回数を増やせば増やすほど、統計的確率が数学的確率に近づいていくことを、「大数の法則」という
例えば…
- 実際にサイコロを1,000回投げたら、3の目が1,300回出た
- →その結果、3の目が出た確率はほぼ 1/3
  $\begin{eqnarray}P(A) &=& \lim_{n\to\infty}\frac{r}{n}&=& \frac{a}{N}\end{eqnarray}$

加法定理

排反前提の場合

2つ、または2つ以上の排反事象（同時に起こりえない事象）が起こる確率は、それぞれの確率の和である
$\begin{eqnarray}P(A \cup B) &=& P(A) + P(B) \\P(A \cup B \cup C \cdots ) &=& P(A) + P(B) + P(C) + \cdots \\\end{eqnarray}$
- 排反事象
  - 同時に起こりえない（2つ、または2つ以上の）事象
- $\normalsize A \cup B$ を、AとBの和事象という
例：
- 52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはダイヤを引く確率は、次のとおり
  $\begin{eqnarray}P(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{13}{52} \\&=& \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\end{eqnarray}$

一般の場合

2つ、または2つ以上の事象が起こる確率は、それぞれの確率の和から、それぞれの事象が同時に起こる確率を引いたもの
$P(A \cup B) = P(A) \cup P(B) - P(A \cap B)$
例：
- 52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはＡ（エース）を引く確率は、次のとおり
  $\begin{eqnarray}P(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} \\&=& \frac{4}{13}\end{eqnarray}$

乗法定理

2つ、または2つ以上の互いに独立な事象が同時に（または続けて）起こる確率は、確率の積になる
$\begin{eqnarray}P(A \cap B) &=& P(A) \times P(B) \\P(A \cap B \cap C \cdots ) &=& P(A) \times P(B) \times P(C) \times \cdots \\\end{eqnarray}$
- $\normalsize A \cap B$ を、AとBの積事象という
例：
- サイコロを2回投げて、2回とも1の目が出る確率（1の目が出た後、1の目が出る確率）は、次のとおり
  $\begin{eqnarray}P(A \cap B) &=& \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\&=& \frac{1}{36}\end{eqnarray}$

独立事象
- ある事象の発生する確率が、他のいずれの事象の影響も受けない
  （他の事象に関係なく発生する事象）
余事象
- ある事象について、その事象がおこらないすべての場合（の事象）を「余事象」 $\normalsize \bar{A}$ と書く
- 余事象が起こる確率を $\normalsize P( \bar{A})$ と書く

$P( \bar{A}) = 1 - P(A)$

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