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健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/12th/Welch's_Test のバックアップ(No.4)

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2009/12th/Welch's_Test へ行く。
- 1 (2009-07-07 (火) 06:03:55)
- 2 (2009-07-07 (火) 07:44:56)
- 3 (2009-07-07 (火) 10:03:36)
- 4 (2009-07-07 (火) 11:24:42)

対応のない2組の平均値の差の検定（母分散が未知で等しくない）

検定の対象

対応のない（独立した）2つの母集団について考える。それぞれの母数は次のとおり。ただし、母分散の値はわからない。

	母集団1	母集団2
母平均	$\normalsize \mu_1$	$\normalsize \mu_2$
標本の標本数	$\normalsize n_1$	$\normalsize n_2$
標本平均	$\normalsize \bar{x}_1$	$\normalsize \bar{x}_2$
標本分散	$\normalsize {s_1}^2$	$\normalsize {s_2}^2$

なお、標本平均は不偏分散から求める。

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$

等分散の検定（F検定）

等分散の検定の結果、 $\normalsize F_0 \geq F$ ならば、母分散は未知で「等しくない」場合に、この検定を使う

Welchの検定

標本数の和が $\normalsize n_1 + n_2 > 100$ の場合にも使われることがある
2組の母集団の分散が2倍以上違う場合や、標本数が2倍上違う場合に使われることがあり、やや特殊な検定法である

帰無仮説と対立仮説

対応のない（独立した）2組の母集団の平均に差があるかどうかを調べる。

帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ は「2組の母集団の平均に差はない」 : $\normalsize \mu_1 = \mu_2$
対立仮説 $\normalsize H_{1}$ は「2組の母集団の平均に差がある」 : $\normalsize \mu_1 \neq \mu_2$

検定統計量の算出

t分布にしたがう、検定統計量 $\normalsize t_0$ を次の式から算出する
$t_0 = \frac{ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} } }$
なお、自由度は次のように算出する（整数にならない場合は、小数点以下を切り捨て）
$df = \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} + \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right) \div \left\{ \frac{ \left( \frac{ {s_1}^2 }{n_1} \right)^2 }{n_1 - 1} + \frac{ \left( \frac{ {s_2}^2 }{n_2} \right)^2 }{n_2 - 1} \right\}$
- 自由度の計算が複雑なので、あまりおススメの方法とはいえない…

仮説の判定（両側検定）

検定統計量 $\normalsize t_0$ と、自由度 $\normalsize df$ 、有意水準 $\normalsize \alpha$ の有意点の値（t分布表などから求める）を使って、判定をする
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を棄却 : $\normalsize |t_0| > t(df , \alpha/2)$
  - 「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
- 帰無仮説 $\normalsize H_{0}$ を採択 : $\normalsize |t_0| < t(df , \alpha/2)$
  - 「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」

例題

女子大学生にデートに臨むときのハイヒールの高さを聞いたところ、自分を「おしゃれ」と答えた24人のハイヒールの高さの平均は3.67cm、標準偏差は1.69cmであった。また、自分を「普通」と答えた48人のハイヒールの高さの平均は2.77cm、標準偏差は1.29cmであった。「おしゃれ」と答えた人たちと「普通」と答えた人たちとでハイヒールの高さに差はあるか？

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