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健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/8th/Normal_Distribution のバックアップ(No.2)

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2009/8th/Normal_Distribution へ行く。
- 1 (2009-06-10 (水) 21:36:48)
- 2 (2009-06-10 (水) 22:52:21)

正規分布と関連する分布

自然界や一般に観察できる多くのものの分布は、平均値を中心に左右対称の釣り鐘状の分布になっていることがある
- 生物現象、毎年の雨量など
- 身長や体重、標準的なテストの成績など

正規分布 (normal distribution)

正規分布とは

平均値を中心に左右対称の釣り鐘状になる分布を、「正規分布」という
$f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \sigma } e^{ \frac{ (x - \mu)^2 }{ 2 \sigma^2 } }$
- $\normalsize \mu$ : 平均値
- $\normalsize \sigma$ : 標準偏差
- $\normalsize \sigma^2$ : 分散
確率密度関数が上の式になるとき、『 $\normalsize x$ は、平均が $\normalsize \mu$ で標準偏差が $\normalsize \sigma$ の正規分布にしたがう』といい、 $\normalsize N(\mu, \sigma^2)$ と表す
- つまり、平均値と分散（標準偏差）から分布が決まる
- さまざまな推定や検定に使われる

正規分布の特徴

分布の中心は平均値 $\normalsize \mu$ で、最も高い値（極大値）をとる
- 平均値が変化すると、分布が左右に移動する
$\normalsize \mu \pm \sigma$ で変曲点（曲線の凹凸の変わり目）になる
- 標準偏差が変化すると、分布の高さや広がりが変化する
平均値、中央値、最頻値は一致する
平均値と標準偏差から、分布の割合（曲線とx軸に囲まれる面積）が決まる
- $\normalsize \mu \pm \sigma$ の範囲 : 全体の約 68.24%
- $\normalsize \mu \pm 2 \sigma$ の範囲 : 全体の約 95.44%
- $\normalsize \mu \pm 2 \sigma$ の範囲 : 全体の約 97.73%
- それ以外の範囲 : 全体の約 0.27%

標準正規分布

標準正規分布とは

正規分布で、平均値が 0 、標準偏差が 1 になるように、変数 $\normalsize x$ を次のように変換する（変数変換）
$z = \frac{ x -\mu }{ \sigma }$
すると、標準偏差の式は次のようになる
$f(z) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } e^{ \frac{ z^2 }{ 2 } }$
確率密度関数が上の式になるとき、『 $\normalsize x$ は、標準正規分布にしたがう』という
- 『 $\normalsize x$ は、平均が 1 で標準偏差が 0 の正規分布にしたがう』ことになり、 $\normalsize N(0, 1^2)$ と表すことができる
- つまり、変数だけから分布が決まる
- さまざまな推定や検定に使われる

標準化（基準化）

先ほどの変数変換を、「標準化」まはた「基準化」という
$z = \frac{ x -\mu }{ \sigma }$
（感覚としては）分布を平均値の分だけ 0 まで移動し、分散の広がりを $\normalsize \frac{1}{\sigma}$ にする
- 単位の異なるデータや平均値・分散が異なるデータを比較するときに使う（英語と数学のテストの成績の比較）
ちなみに偏差値は、標準化を応用したもので、次のような式になる
$z = 50 + 10 \times \frac{ x -\mu }{ \sigma }$

カイ二乗分布

カイ二乗分布とは

$\chi^2 = {x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_n}^2 = \sum_{i=1}^n { x_i }^2$

カイ二乗分布の特徴

t分布

t分布とは

$t = \frac{ x }{ \sqrt{ \frac{ {\chi_r}^2 }{r} } }$

t分布の特徴

F分布

F分布とは

$F = \frac{ {\chi_m}^2 }{m} \middle/ \frac{ {\chi_n}^2 }{n}$

F分布の特徴

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