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健康統計の基礎・健康統計学 - 2011/3rd/Average のバックアップ(No.1)

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2011/3rd/Average へ行く。
- 1 (2011-04-20 (水) 17:52:11)

代表値（average）

データの分布などの特徴を示す数値（特性値）を「代表値」という。
データ全体をひとつの値で代表させる値である。

平均値（mean）

算術平均（arithmetic mean）

算術平均 $\normalsize \bar{x}$ は、データをすべて足しあわせ、データ数で割ったもの。
平均値のなかで、もっとも一般的なもの。
$\begin{eqnarray}\bar{x} &=& \frac{1}{n} \hspace{5} (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \\ &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\end{eqnarray}$

幾何平均（geometric mean）

幾何平均 $\normalsize Gm$ は、各データの値の積に対してデータ数のべき根を求めたもの。
$\begin{eqnarray}Gm &=& \sqrt[n]{ x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n } \\ &=& \left( x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n \right)^{1/n} \\ &=& \left( \prod_{i=1}^{n}x_i \right)^{1/n}\end{eqnarray}$
幾何平均の例
- 5年間の物価上昇率が7％のとき、1年の平均上昇率は何％か？
- 過去3年間の売上高の対前年比が120%、110%、130%のとき、平均の売上高の伸びは？

調和平均（harmonic mean）

調和平均 $\normalsize Hm$ は、データ数を各データの値の逆数の和で割ったもの。
$\begin{eqnarray}Hm &=& \frac{ n }{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} } \\ &=& \frac{ n }{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} }\end{eqnarray}$
調和平均の例
- 山頂まで6kmの道のりを、往きは2km/hで、帰りは6km/hで歩いたとき、平均の速さはいくらか？
- 車でドライブをして、最初の24kmは30km/h、次の24kmは40km/h、最後の24kmは60km/hで走った時、平均速度はいくらか？

中央値（median）

中央値（中位数）

中央値 $\normalsize Me$ は、データを大きさの順に並べたときに、中央にくる値のことである。
- データ数が奇数のときは中央にくるデータの値になる。
- データ数が偶数のときは中央にある2つのデータの平均の値になる。
  $Me = \left{ x_m\text{ if $n$ odd, $m=(n+1)/2$ } \\\frac{ x_m + x_{m+1} }{2} \text{ if $n$ even, $m=n/2$ }\right.$

中央に位置するデータが複数個ある場合（「結び（tie）」があるという）、次のような式で中央値を求めることができる。
$Me = \frac{1}{ 2 n_M } ( n_{ x > M } \hspace{5} - \hspace{5} n_{ x < M } ) + M$
- 中央にあるデータ : $M$
- 値 $M$ になるデータの個数 : $n_M$
- 値 $M$ より小さいデータの個数 : $n_{ x < M }$
- 値 $M$ より大きいデータの個数 : $n_{ x > M }$

度数分布表がある場合は、階級や度数などの情報から、中央値を求めることもできる。
$Me = l_m + \left( \frac{n}{2} - F \right) \frac{h}{f_m}$
- 標本数 : $\normalsize n$
- 階級幅 : $\normalsize h$
- m 番目の階級の下限 : $\normalsize l_m$
- m 番目の階級の度数 : $\normalsize f_m$
- m-1 番目までの累積度数 : $\normalsize F$

四分位数（quartile）

ヒストグラムから考えると、四分位数はヒストグラムの面積を1/4ずつに分ける値である。
- 中央値は、ヒストグラムの面積を半分に分ける値になる。
データを大きさの順に並べた場合は、データの個数を4分の1ずつの部分にわける個所である。
小さいほうから、第1、第2、第3四分位数といい、中央値は、第2四分位数になる。
データが $\normalsize n$ 個のあるときの第1四分位数 $\normalsize Q_1$ と第3四分位数 $\normalsize Q_3$ は、次のようにして求められる。
- $\normalsize n = 4k+1, \hspace{5} 2, \hspace{5} 3$ の場合
  $\begin{eqnarray}Q_1 &=& x_{ k+1 } \\Q_3 &=& x_{ n-k }\end{eqnarray}$
- $\normalsize n = 4k$ の場合
  $\begin{eqnarray}Q_1 &=& (x_k + x_{ k+1 }) / 2 \\Q_3 &=& (x_{ n-k } + x_{ n-k+1 } ) / 2\end{eqnarray}$

百分位数（percentile）

百分位数（パーセンタイル値）は、ヒストグラムの面積を1/100ずつに分ける値である。
- 25パーセンタイル値は第1四分位数である。
- 50パーセンタイル値は中央値（第2四分位数でもある）。
度数分布表がある場合は、階級や度数などからパーセンタイル値 $\normalsize p$ を求めることもできる。
$p = l_m + \left( \frac{n \times p}{100} - F \right) \frac{h}{f_m}$
- 標本数 : $\normalsize n$
- 階級幅 : $\normalsize h$
- m 番目の階級の下限 : $\normalsize l_m$
- m 番目の階級の度数 : $\normalsize f_m$
- m-1 番目までの累積度数 : $\normalsize F$

最頻値（mode）

最頻値 $\normalsize Mo$ は、データのなかで最も多く出てくる値のことである。
- 度数分布表がある場合は、もっとも度数の多い階級値を最頻値として、次の式から最頻値を求めることができる。
  $Mo = l_m + \frac{ f_{m+1} }{ f{m-1} + f{m+1} } \times h$
  - 最大度数の階級 : $\normalsize m$
  - 階級幅 : $\normalsize h$
  - m 番目の階級の下限 : $\normalsize l_m$
  - m 番目の階級の度数 : $\normalsize f_m$

分布が釣り鐘形の場合は、ピアソン（Pearson）の式を用いることができる。
$Mo = \bar{x} - 3 \times (\bar{x} - Me)$

代表値の特性

平均値はすべてのデータを反映している。
- ハズレ値（極端に小さく・大きくて飛び離れたデータ）があるとその影響を受けやすいため、ハズレ値の考慮が必要。
中央値（四分位数や百分位数も）は分布上の位置（中央など）を示す。
- ハズレ値の影響を受けにくく、分布に偏りがある場合に優れている。
最頻値は、「データの多くはこのあたりにある」という説明をするのにわかりやすい。
- ハズレ値の影響を受けにくい。

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