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健康統計の基礎・健康統計学 - 2010/9th/Expected_Value のバックアップ(No.1)

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2010/9th/Expected_Value へ行く。
- 1 (2010-06-16 (水) 12:57:26)

確率変数の期待値と分散

期待値（平均値）

期待値とは

確率変数 $\normalsize X$ の確率分布が次のようなとき、
$\normalsize X$ $\normalsize x_1$ $\normalsize x_2$ $\normalsize \cdots$ $\normalsize x_n$ 計
確率 $\normalsize p_1$ $\normalsize p_2$ $\normalsize \cdots$ $\normalsize p_n$ 1
確率変数 $\normalsize X$ の平均値、または期待値は、次のように表せる
$\mu = E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$
期待値とは、1回の試行の結果として期待される値の大きさを表す

期待値の計算例

サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 $\normalsize X$ を使うと、その確率分布は次のようになる
$\normalsize X$ 1 2 3 4 5 6 計
確率 $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize 1$
確率変数 $\normalsize X$ の期待値（平均値）は、 $\normalsize n = 6$ なので、
$\begin{eqnarray}x_1 = 1, x_2 = 2, \cdots , x_6 = 6 \\[10]p_1 = \frac{1}{6}, p_2 = \frac{1}{6}, \cdots , p_6 = \frac{1}{6} \end{eqnarray}$
したがって、次のようになる
$\begin{eqnarray}E(X) &=& 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} \\[10]&=& \frac{21}{6} = 3.5\end{eqnarray}$

期待値と算術平均との関係

n 個のデータ $\normalsize x_1 , x_2 , \cdots , x_n$ の平均値は、次のように表せる
$\begin{eqnarray}\bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} \\[10]&=& x_1 \times \frac{1}{n} + x_2 \times \frac{1}{n} + \cdots + x_n \times \frac{1}{n}\end{eqnarray}$
ここで確率について、 $\normalsize p_1 = \frac{1}{n} , p_2 = \frac{1}{n} , \cdots , p_n = \frac{1}{n}$ とおく、つまり各々の確率が等しいと考えると、
$\begin{eqnarray}\bar{x} &=& x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \\[10]&=& E(X)\end{eqnarray}$
すなわち、各々の確率が等しくても等しくなくても、平均値（期待値）を求めることができる

分散と標準偏差

確率変数の分散と標準偏差

確率変数 $\normalsize X$ の確率分布が次のようなとき、
$\normalsize X$ $\normalsize x_1$ $\normalsize x_2$ $\normalsize \cdots$ $\normalsize x_n$ 計
確率 $\normalsize p_1$ $\normalsize p_2$ $\normalsize \cdots$ $\normalsize p_n$ 1
確率変数 $\normalsize X$ の分散は次のように表す
$\begin{eqnarray}\sigma^2 = V(X) &=& (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n \\[10]&=& \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) p_i\end{eqnarray}$
分散の正の平方根を、確率変数 $\normalsize X$ の標準偏差といい、次のように表す
$\sigma = \sqrt{ V(X) }$

確率変数の分散と標準偏差の特徴

分散や標準偏差が小さいほど、確率変数の値は平均に集中し、ばらつきが小さい
分散や標準偏差が大きいほど、確率変数の値は平均から離れ、ばらつきが大きい

確率変数の分散と標準偏差の計算

サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 $\normalsize X$ を使うと、その確率分布は次のようになる
$\normalsize X$ 1 2 3 4 5 6 計
確率 $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize 1$
したがって、分散は次のようにして求められる
$\begin{eqnarray}\sigma^2 = V(X) &=& (1 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + \cdots + (6 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} \\[10]&=& \frac{35}{12} \simeq 2.92\end{eqnarray}$
また、標準偏差は次のようになる
$\begin{eqnarray}\sigma &=& \sqrt{ V(X) } \\[10]&=& \sqrt{ \frac{35}{12} } \simeq 1.71\end{eqnarray}$
つまり、サイコロを何回も投げたとき、そのでた目の平均が 3.5 ± 1.71 （1.79〜5.21）の範囲になる確率が高いことを示している

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