確率変数の期待値と分散 - 健康統計の基礎・健康統計学

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確率変数の期待値と分散

期待値（平均値）

期待値とは

確率変数 $\normalsize X$ の確率分布が次のようなとき、
$\normalsize X$ $\normalsize x_1$ $\normalsize x_2$ $\normalsize \cdots$ $\normalsize x_n$ 計
確率 $\normalsize p_1$ $\normalsize p_2$ $\normalsize \cdots$ $\normalsize p_n$ 1
確率変数 $\normalsize X$ の平均値、または期待値は、次のように表せる
$\mu = E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$
期待値とは、1回の試行の結果として期待される値の大きさを表す

期待値の計算例（1）

サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 $\normalsize X$ を使うと、その確率分布は次のようになる
$\normalsize X$ 1 2 3 4 5 6 計
確率 $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize 1$
確率変数 $\normalsize X$ の期待値（平均値）は、 $\normalsize n = 6$ なので、
$\begin{eqnarray}x_1 = 1, \hspace{5} x_2 = 2, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} x_6 = 6 \\[10]p_1 = \frac{1}{6}, \hspace{5} p_2 = \frac{1}{6}, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} p_6 = \frac{1}{6} \end{eqnarray}$
したがって、次のようになる
$\begin{eqnarray}E(X) &=& 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} \\[10]&=& \frac{21}{6} = 3.5\end{eqnarray}$
つまり、サイコロを何回も投げたときに、でた目の平均をとると 3.5 になることを示している

期待値の計算例（2）

サイコロを5回連続で投げたときに1の目が出る回数を確率変数 $\normalsize X$ とすると、その確率分布は次のようになる
$\normalsize X$ 0 1 2 3 4 5
確率 0.4019 0.4019 0.1608 0.0322 0.0032 0.0001
確率変数 $\normalsize X$ の期待値（平均値）は、 $\normalsize n = 6$ なので、
$\begin{eqnarray}&& x_1 = 0, \hspace{5} x_2 = 1, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} x_6 = 5 \\[10]&& p_1 = 0.4019, \hspace{5} p_2 = 0.4019, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} p_6 = 0.0001 \end{eqnarray}$
したがって、次のようになる
$\begin{eqnarray}E(X) &=& 0 \times 0.4019 + 1 \times 0.4019 + 2 \times 0.1608 + 3 \times 0.0322 + 4 \times 0.0032 + 5 \times 0.0001 \\[10]&\simeq& 0.83\end{eqnarray}$
つまり、サイコロを5回連続投げて1の目が出るのは1回あるかないか程度であることを示している

期待値の計算例（3）

宝くじの期待値を求めることもできる。宝くじの場合は「当せん金×当せん確率」の合計が期待値となる。

例えば、平成21年年末ジャンボ宝くじは、1ユニット（1000万枚）あたり、次のような当せん本数になっている。なお、当せん確率は「当せん本数÷1000万×100」から求めている。

等級	当せん金	当せん本数	当せん確率
1等	200,000,000円	1本	0.00001%
1等前後賞	50,000,000円	2本	0.00002%
1等組違い賞	100,000円	99本	0.00099%
2等	100,000,000円	2本	0.00002%
3等	5,000,000円	10本	0.0001%
4等	100,000円	600本	0.006%
5等	10,000円	10,000本	0.1%
6等	3,000円	100,000本	1%
7等	300円	1,000,000本	10%
元気に2010年賞	1,000,000円	100本	0.001%

宝くじがいくら当たるかの期待値を調べるには、「当せん金×当せん確率」の合計を求めるので、
$\begin{eqnarray}E(X) &=& 200,000,000 \times 0.00001% + 50,000,000 \times 0.00002% + \cdots + 300 \times 10% + 1,000,000 \times 0.001% \\[10]&=& 141.99\end{eqnarray}$
つまり、宝くじ1枚（300円）を買うと、1枚につき141.99円の還元が期待できる、ということを示している。

期待値と算術平均との関係

n 個のデータ $\normalsize x_1 , x_2 , \cdots , x_n$ の平均値は、次のように表せる
$\begin{eqnarray}\bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} \\[10]&=& x_1 \times \frac{1}{n} + x_2 \times \frac{1}{n} + \cdots + x_n \times \frac{1}{n}\end{eqnarray}$
ここで確率について、 $\normalsize p_1 = \frac{1}{n} , p_2 = \frac{1}{n} , \cdots , p_n = \frac{1}{n}$ とおく、つまり各々の確率が等しいと考えると、
$\begin{eqnarray}\bar{x} &=& x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \\[10]&=& E(X)\end{eqnarray}$
すなわち、各々の確率が等しくても等しくなくても、平均値（期待値）を求めることができる

分散と標準偏差

確率変数の分散と標準偏差

確率変数 $\normalsize X$ の確率分布が次のようなとき、
$\normalsize X$ $\normalsize x_1$ $\normalsize x_2$ $\normalsize \cdots$ $\normalsize x_n$ 計
確率 $\normalsize p_1$ $\normalsize p_2$ $\normalsize \cdots$ $\normalsize p_n$ 1
確率変数 $\normalsize X$ の分散は次のように表す
$\begin{eqnarray}\sigma^2 = V(X) &=& (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n \\[10]&=& \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) p_i\end{eqnarray}$
$\normalsize \mu$ は期待値 $\normalsize E(X)$ 簡単に表したもの
分散の正の平方根を、確率変数 $\normalsize X$ の標準偏差といい、次のように表す
$\sigma = \sqrt{ V(X) }$

確率変数の分散と標準偏差の特徴

分散や標準偏差が小さいほど、確率変数の値は平均に集中し、ばらつきが小さい
分散や標準偏差が大きいほど、確率変数の値は平均から離れ、ばらつきが大きい
分散は変数の単位の2乗を表す（例えば変数の単位がcmなら、分散の単位cm^2）ため、元の単位と同じ標準偏差を用いて平均からのばらつきを表す

確率変数の分散と標準偏差の計算

サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 $\normalsize X$ を使うと、その確率分布は次のようになる
$\normalsize X$ 1 2 3 4 5 6 計
確率 $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize \frac{1}{6}$ $\normalsize 1$
したがって、分散は次のようにして求められる
$\begin{eqnarray}\sigma^2 = V(X) &=& (1 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + \cdots + (6 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} \\[10]&=& \frac{35}{12} \simeq 2.92\end{eqnarray}$
また、標準偏差は次のようになる
$\begin{eqnarray}\sigma &=& \sqrt{ V(X) } \\[10]&=& \sqrt{ \frac{35}{12} } \simeq 1.71\end{eqnarray}$
つまり、サイコロを何回も投げたとき、そのでた目の平均が 3.5 ± 1.71 （1.79〜5.21）の範囲になる確率が高いことを示している

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