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健康統計の基礎・健康統計学 -
2010/11th/Population_Mean
のバックアップの現在との差分(No.1)
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2010/11th/Population_Mean
へ行く。
母平均の区間推定
母集団から抽出した標本をもとに母集団の平均(母平均)を区間推定する
大卒100人の初任給のデータからすべての大卒の初任給の平均を推定
あるクラスの男子の身長のデータから日本全体の同年代の男子の身長の平均を推定
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▼
母平均の区間推定の準備
▲
▼
標準得点
平均が
、分散が
の
正規分布
から、
標準正規分布
を導くときに、次の式を用いて
標準化
を行う。
このときの
を、
標準得点
(standardized score)という。
標準得点は、平均が0で分散が1の標準正規分布
にしたがう。
▲
▼
中心極限定理と標本平均の分布
中心極限定理では、
「平均が
で分散が
の母集団について、
母集団の分布が正規分布でなくても、
標本の大きさ
が十分大きい標本を抽出すれば、
標本平均
の分布は平均が
で分散が
の正規分布にしたがう」ことが成り立つ。
ある標本の標本平均
を標準化した分布を考える。
標本平均を標準得点
に変換すると、次の式になる。
▲
▼
標本平均の分布と信頼区間
標準正規分布にしたがう標本平均の信頼区間について考える。
95%信頼区間は、標本平均を標準化した
が、-1.96〜1.96の区間を示す。
つまり、信頼度を95%とした95%信頼区間では、
標本平均の存在する範囲は次の式のようになる。
1.96 < \frac{ \bar{x}_i - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} } } < 1.96#spanadd" />
ここで、信頼度を 100(1-α)% とすると、次のように書き換えることができる。
z_{( \alpha / 2)} < \frac{ \bar{x}_i - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} } } < z_{( \alpha / 2)}#spanadd" />
区間推定では、調べたいのは母平均
の範囲になるので、
上の式を
について解くと、
次の式が得られる。これは「母平均が標本平均±z値×標準誤差の範囲にある」ことを示している。
▲
▼
母分散が既知の場合
分散が
母集団から抽出した大きさ
の標本の平均(標本平均)が
であるとき
母平均(母集団の平均)
の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
なお
は次のように標準化した統計量で、標準正規分布にしたがう
推定量(この場合は標本平均)の分散の平方根を
標準誤差
(SE : Standard Error)といい、次のように表す
標本平均
の分布は正規分布にしたがい(中心極限定理より)、平均は
、分散は
となる
標本数が多い場合にも使う
▲
▼
母分散が未知の場合(t推定)
母標準偏差
のかわりに、標本標準偏差
を用いる
分散は不偏分散になる
母集団から抽出した大きさ
の標本の平均(標本平均)が
、分散(不偏分散)
がであるとき
母平均
の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
は次のように標準化した統計量で、t分布にしたがい、平均は
、分散は
となる
は、自由度 n-1、確率α/2 のtの値
標準誤差の推定値は
となる
は、自由度 n-1、確率α/2 のtの値
標本数が少ない場合にも用いる
自由度(すなわち標本数)が増えれば、t分布が標準正規分布 N(0, 1) に近づくので、母分散が既知の場合と同じになる
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