TITLE:順列と組み合わせ *順列と組み合わせ [#b6b6b175] **階乗(factorial) [#f73ee4ca] -ある数 n から1ずつ少ない数を掛けあわせることを「''階乗''」という #mimetex(){{ \begin{eqnarray} n! &=& n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1 \end{eqnarray} }} -なお、0(ゼロ)の階乗は、便宜上、1である。 **順列 (Permutation) [#wbef77be] -異なる n 個のものから r 個を選んだ「''並べ方''」を、 n 個から r 個をとる「''順列''」という #mimetex(){{ \begin{eqnarray} _n \mathrm{P}_r &=& n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times (n - r + 1) \\ &=& \frac{ n! }{ (n-r)! } \end{eqnarray} }} -n 個から n 個をとる順列 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} _n \mathrm{P}_n &=& n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1 = n! \end{eqnarray} }} -7 個から 3 個をとる順列 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} _7 \mathrm{P}_3 &=& 7 \times 6 \times 5 = 210 \end{eqnarray} }} -また次のようなことがいえる(n 個から0個をとる順列) #mimetex(){{ \begin{eqnarray} _n \mathrm{P}_0 &=& 0 \end{eqnarray} }} **組み合わせ (Combination) [#nc880cee] -異なる n 個のものから r 個を選ぶときの組み合わせを、 n 個から r 個をとる「''組み合わせ''」という #mimetex(){{ \begin{eqnarray} _n \mathrm{C}_r &=& \frac{ _n \mathrm{P} _r }{ r! } \\ &=& \frac{ n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - r + 1) }{ r! } \\ &=& \frac{ n! }{ r! (n-r)! } \end{eqnarray} }} -4 個から 3 個をとる組み合わせ #mimetex(){{ \begin{eqnarray} _4 \mathrm{C}_3 &=& \frac{ 4 \times 3 \times 2 }{ 1 \times 2 \times 3 } = 4 \end{eqnarray} }} -なぜ &mimetex(\normalsize {}_n \mathrm{C}_r = {}_n \mathrm{P}_r / r! ); となるか? --{a, b, c, d, e} の5つから {a, b, c} の3つを選ぶ場合を考えると… ---順列は次の 3!=6 通りとなる &br; {a,b,c}, {a,c,b}, {b,a,c}, {b,c,a}, {c,a,b}, {c,b,a} ---組み合わせでは順序を考えないので、順列の結果を 3!=6 で割ってやればよい -また次のようなことがいえる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} _n \mathrm{C}_0 &=& 1 \\ _n \mathrm{C}_1 &=& n \\ _n \mathrm{C}_n &=& 1 \\ _n \mathrm{C}_r &=& _n \mathrm{C}_{n-r} \end{eqnarray} }} |