TITLE:母平均の区間推定 *母平均の区間推定 [#j49d7c4f] 母集団から抽出した標本をもとに母集団の平均(母平均)を区間推定する --大卒100人の初任給のデータからすべての大卒の初任給の平均を推定 --あるクラスの男子の身長のデータから日本全体の同年代の男子の身長の平均を推定 **母分散が既知の場合 [#h5f914b9] -分散が &mimetex(\normalsize \sigma^2 ); 母集団から抽出した大きさ &mimetex(\normalsize n ); の標本の平均(標本平均)が &mimetex(\normalsize \bar{x} ); であるとき -母平均(母集団の平均) &mimetex(\normalsize \mu ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり #mimetex(){{ \bar{x} - z( \alpha / 2) \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + z( \alpha / 2) \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } }} --なお &mimetex(\normalsize z ); は次のように標準化した統計量で、標準正規分布にしたがう #mimetex(){{ z = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } } }} -標本平均 &mimetex(\normalsize \bar{x} ); の分布は正規分布にしたがい(中心極限定理より)、平均は &mimetex(\normalsize \mu ); 、分散は &mimetex(\normalsize \frac{ \sigma^2}{n} ); となる -標本数が多い場合にも使う **母分散が未知の場合(t推定) [#j4707223] -母標準偏差 &mimetex(\normalsize \sigma ); のかわりに、標本標準偏差 &mimetex(\normalsize s ); を用いる --分散は不偏分散になる #mimetex(){{ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) }} -母集団から抽出した大きさ &mimetex(\normalsize n ); の標本の平均(標本平均)が &mimetex(\normalsize \bar{x} ); 、分散(不偏分散)&mimetex(\normalsize s^2 ); がであるとき -母平均 &mimetex(\normalsize \mu ); の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり #mimetex(){{ \bar{x} - t(n-1, \alpha / 2) \frac{ s }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + t(n-1, \alpha / 2) \frac{ s }{ \sqrt{n} } }} --&mimetex(\normalsize t ); は次のように標準化した統計量で、t分布にしたがい、平均は &mimetex(\normalsize \mu ); 、分散は &mimetex(\normalsize \frac{ s^2}{n} ); となる #mimetex(){{ t = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ s }{ \sqrt{n} } } }} --&mimetex(\normalsize t(n-1, \alpha / 2) ); は、自由度 n-1、確率α/2 のtの値 -標本数が少ない場合にも用いる --自由度(すなわち標本数)が増えれば、t分布が標準正規分布 N(0, 1) に近づくので、母分散が既知の場合と同じになる |