TITLE:確率 *確率 [#oe5dca75] **事象 [#y5ac6fb3] -あることが起こった結果を、「''事象''」という --事象Aを &mimetex(\normalsize A ); と表す -あることが起こった結果を、「''事象''」といい、事象 A を &mimetex(\normalsize A ); と表す --全体の事象のことを「''全事象''」といい、 &mimetex(\normalsize \Omega ); と表す --決して起こらないことを「''空事象''」といい、 &mimetex(\normalsize \phi ); と表す --事象AまたはBが起こる確率を「''和事象''」といい、 &mimetex(\normalsize A \cup B ); と表す --事象AとBが同時に起こる確率を「''積事象''」といい、 &mimetex(\normalsize A \cap B ); と表す --事象 A または B が起こる確率を「''和事象''」といい、 &mimetex(\normalsize A \cup B ); と表す --事象 A と B が同時に起こる確率を「''積事象''」といい、 &mimetex(\normalsize A \cap B ); と表す **確率 (Probability) [#v8e03e0e] -「確率」とは、あることが起こる結果の割合、つまり起こりやすさの目安である --ある事象 A が起こる確率を、 &mimetex(\normalsize P(A) ); と表す ---確率は、0から1の間の値をとる --ある事象 A が起こる確率を、 &mimetex(\normalsize \mathrm{P}(A) ); と表す --確率は、0 から 1 の間の値をとる #mimetex(){{ 0 \leq P(A) \leq 1 0 \leq \mathrm{P}(A) \leq 1 }} --全事象の確率は &mimetex(\normalsize P( \Omega ) = 1 ); となる --空事象の確率は &mimetex(\normalsize P( \phi ) = 0 ); と書く ---全事象の確率は &mimetex(\normalsize \mathrm{P}( \Omega ) = 1 ); となる ---空事象の確率は &mimetex(\normalsize \mathrm{P}( \phi ) = 0 ); となる ***数学的確率 [#a89ef257] -あることが起こる結果が何通りあるかを元にしてだす確率を、「''数学的確率''」という -例えば… --サイコロの目の出方は6通り --3の目が出る確率は 1/6 -事象Aの確率は、事象Aの起こる場合の数 a を、すべての場合の数(何通りあるかすべて数えたもの)N で割ったものである -事象Aの確率は、事象 A の起こる場合の数 a を、すべての場合の数(何通りあるかすべて数えたもの)N で割ったものである #mimetex(){{ P(A) = \frac{a}{N} \mathrm{P}(A) = \frac{a}{N} }} ***統計的確率 [#hbfde005] -実際に起こった結果を元にしてだす確率を、「''統計的確率''」という -例えば… --実際にサイコロを60回投げたら、3の目が13回出た --この時点での、3の目が出た確率は 13/60 -事象Aの確率は、事象Aの起こった回数 r を、すべての起こった回数 n で割ったものである #mimetex(){{ P(A) = \frac{r}{n} \mathrm{P}(A) = \frac{r}{n} }} ***大数の法則 [#pb33d92d] -試行(あることを実施する)回数を増やせば増やすほど、統計的確率が数学的確率に近づいていくことを、「''大数の法則''」という -''試行''(あることを実施する)回数を増やせば増やすほど、統計的確率が数学的確率に近づいていくことを、「''大数の法則''」という -例えば… --実際にサイコロを1,000回投げたら、3の目が1,300回出た --その結果、3の目が出た確率はほぼ 1/3 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(A) &=& \lim_{n\to\infty}\frac{r}{n} \mathrm{P}(A) &=& \lim_{n\to\infty}\frac{r}{n} &=& \frac{a}{N} \end{eqnarray} }} **加法定理 [#k9f3d421] ***排反前提の場合 [#c73da2cd] -2つ、または2つ以上の排反事象(同時に起こりえない事象)が起こる確率は、 -2つ、または2つ以上の''排反事象''(同時に起こりえない事象)が起こる確率は、 それぞれの確率の和である #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(A \cup B) &=& P(A) + P(B) \\ P(A \cup B \cup C \cdots ) &=& P(A) + P(B) + P(C) + \cdots \\ \mathrm{P}(A \cup B) &=& \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) \\ \mathrm{P}(A \cup B \cup C \cdots ) &=& \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}(C) + \cdots \\ \end{eqnarray} }} --排反事象 ---同時に起こりえない(2つ、または2つ以上の)事象を「''排反事象''」という --同時に起こりえない(2つ、または2つ以上の)事象を「''排反事象''」という #mimetex(){{ A \cup B = \phi }} #ref(2010/5th/Probability/HS0500.png,nolink,排反事象の場合の加法定理) -例:52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはダイヤを引く確率は、次のとおり #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{13}{52} \\ \mathrm{P}(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{13}{52} \\ &=& \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \end{eqnarray} }} ***一般の場合 [#j687009f] -2つ、または2つ以上の事象が起こる確率は、 それぞれの確率の和から、それぞれの事象が同時に起こる確率を引いたもの #mimetex(){{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) }} #ref(2010/5th/Probability/HS0501.png,nolink,一般の場合の加法定理) -例:52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはA(エース)を引く確率は、次のとおり #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} \\ \mathrm{P}(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} \\ &=& \frac{4}{13} \end{eqnarray} }} **乗法定理 [#ed18daad] ***条件つき確率 [#s4ab9e7b] -「Aが起こったときにBが起きる」事象を、&mimetex(\normalsize B \mid A ); と表す -「Aが起こったときにBが起きる」事象の確率、つまり、Aが起こったという条件のもとでBが起きる確率を、「''条件つき確率''」といい、&mimetex(\normalsize P( B \mid A ) ); と表す -「A が起こったときに B が起きる」事象を、&mimetex(\normalsize B \mid A ); と表す -「A が起こったときに B が起きる」事象の確率、つまり、A が起こったという条件のもとで B が起きる確率を、「''条件つき確率''」といい、&mimetex(\normalsize \mathrm{P}( B \mid A ) ); と表す #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(B \mid A) &=& \frac{ P(A \cap B) }{ P(A) } \\ \mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\ \end{eqnarray} }} -上の式の両辺に P(A) を掛けると、次のように式が変形できる -上の式の両辺に &mimetex(\normalsize \mathrm{P}(A) ); を掛けると、次のように式が変形できる #mimetex(){{ P(B \cap A) = P(A) \times P(B \mid A) \mathrm{P}(B \cap A) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B \mid A) }} --BがAに関係なく起きる(事象AとBが独立な事象である)場合、「乗法定理」が導き出せる -- B が A に関係なく起きる(事象 A と B が独立な事象である)場合、「乗法定理」が導き出せる -例:サイコロを投げて、奇数の目(事象A)が出たときに、それが1の目である(事象B)確率は、次のとおり -例:サイコロを投げて、奇数の目が出たとき(事象 A )に、それが1の目である(事象 B )確率は、次のとおり #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(B \mid A) &=& \frac{ P(A \cap B) }{ P(A) } \\ \mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\ &=& \frac{1}{3} \end{eqnarray} }} --A = 奇数の目が出る = {1, 3 ,5} --B = 1の目が出る = {1} -例:ある男女100人について結婚しているかどうか調査した結果が、次のようになった。この100人から1人を選んだとき、それが結婚している男性である確率は? |CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c |~ |~男性|~女性|~合計| |~結婚している|26|21|47| |~結婚していない|29|24|53| |~合計|55|45|100| --A = 選んだ人が男性である = 55人 --&mimetex(\normalsize A \cap B ); = 結婚している男性である = 26 --&mimetex(\normalsize A \cap B ); = 結婚している男性である = 26人 #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(B \mid A) &=& \frac{ P(A \cap B) }{ P(A) } \\ \mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\ &=& \frac{26}{55} \end{eqnarray} }} ***乗法定理 [#vedb13a9] -2つ、または2つ以上の互いに独立な事象が同時に(または続けて)起こる確率は、 確率の積になる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(A \cap B) &=& P(A) \times P(B) \\ P(A \cap B \cap C \cdots ) &=& P(A) \times P(B) \times P(C) \times \cdots \\ \mathrm{P}(A \cap B) &=& \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B) \\ \mathrm{P}(A \cap B \cap C \cdots ) &=& \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B) \times \mathrm{P}(C) \times \cdots \\ \end{eqnarray} }} -「''独立事象''」とは、ある事象の発生する確率が、他のいずれの事象の影響も受けない(他の事象に関係なく発生する事象) -例:サイコロを2回投げて、2回とも1の目が出る確率(1の目が出た後、1の目が出る確率)は、次のとおり #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P(A \cap B) &=& \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ \mathrm{P}(A \cap B) &=& \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ &=& \frac{1}{36} \end{eqnarray} }} **余事象 [#zbceabea] -ある事象Aについて、その事象がおこらないすべての場合(の事象)を「''余事象''」 &mimetex(\normalsize \bar{A} ); と表す -余事象が起こる確率を &mimetex(\normalsize P( \bar{A}) ); と表す -余事象が起こる確率を &mimetex(\normalsize \mathrm{P}( \bar{A}) ); と表す #mimetex(){{ P( \bar{A}) = 1 - P(A) \mathrm{P}( \bar{A}) = 1 - \mathrm{P}(A) }} #ref(2010/5th/Probability/HS0502.png,nolink,余事象) -例:サイコロを2回投げたとき、「''少なくとも''」1回は3の目が出る確率は、次のとおり ++「少なくとも〜」の場合は、余事象の確率を考える ++サイコロを1回投げて、3の目が全く出ない確率は 5/6 ++2回目も3の目が出ない確率は、次のようになる #mimetex(){{ \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36} }} ++サイコロを2回目投げて何かが出る確率(=1)から、2回とも3の目が出ない確率をひけば、少なくとも1回は3の目が出る確率になる #mimetex(){{ 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} }} |