TITLE:母比率の検定 *母比率の検定 [#g44746d3] 母比率の検定では、「''母比率と標本比率との差の程度''」を調べる。 -帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「母比率と標本比率が等しい」 : &mimetex(\normalsize p = \hat{p}); -対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「母比率と標本比率が等しくない」 : --両側検定の場合は &mimetex(\normalsize p \neq \hat{p}); --片側検定の場合は &mimetex(\normalsize p < \hat{p}); または &mimetex(\normalsize p > \hat{p}); **二項検定 [#b25eafda] -二項定理を使って、母比率に対する標本比率の統計値を直接計算し、有意水準と比較する -理論的には正当な方法だが計算が複雑なため、コンピュータによる統計処理が登場するまでは、正規分布に近似する方法(後述)などが使われていた。 ***考え方、 [#uc065470] -母比率 &mimetex(\normalsize p_0 ); の事象を、&mimetex(\normalsize n); 回試行するとき、 -&mimetex(\normalsize r); 回起きる確率は次のようになる #mimetex(){{ P_r = {}_nC_r {p_0}^r (1 - {p_0})^{n-r} }} -「&mimetex(\normalsize r); 回以上」起きる確率は、次のような確率の和から算出できる #mimetex(){{ \begin{eqnarray} P &=& {}_nC_r {p_0}^r (1 - {p_0})^{n-r} + {}_nC_{r+1} {p_0}^{r+1} (1 - {p_0})^{n-r+1} + \cdots + {}_nC_n {p_0}^n (1 - {p_0})^{0} \\ &=& \sum_{i=r}^{n} {}_nC_i {p_0}^i (1 - {p_0})^{n-i} \\ &=& 1 - \sum_{i=0}^{r-1} {}_nC_i {p_0}^i (1 - {p_0})^{n-i} \\ \end{eqnarray} }} -算出した確率と有意水準を比較する --片側検定 ---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize P < \alpha); ---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize P \geq \alpha); --両側検定 ---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize 2P < \alpha); ---帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize 2P \geq \alpha); **正規分布に近似 [#bed6ea64] -特定の条件の時にだけ使える方法である --標本数を &mimetex(\normalsize n ); 、母比率を &mimetex(\normalsize p_0 ); とするとき、 -- &mimetex(\normalsize np_0 > 5 , \hspace{8} p_0 < 1 - p_0 ); 、または、 &mimetex(\normalsize n > 25); の場合 ***考え方 [#qd2e8eba] -標本の値を &mimetex(\normalsize x ); 、標本比率を &mimetex(\normalsize \hat{p_0} = \frac{x}{n} ); とする -標準正規分布に近似される、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を次の式から算出する #mimetex(){{ z_{0} = \frac{ \hat{p_0} - p_0 }{ \sqrt{ \frac{ p_0 (1 - p_0) }{ n } } } }} -検定統計量 &mimetex(\normalsize z_{0} ); を使って判定をする ***連続補正をする場合 [#a117ad7f] -二項分布は離散型の分布であるため、正規分布のような連続型の分布に近似すると、その精度はあまりよくない -そこで、連続補正(イエーツ(Yates)の補正)をすることで、精度をよくする #mimetex(){{ z_{0c} = \frac{ |x - np_0| - 0.5 }{ \sqrt{np_0 (1 - p_0)} } }} -補正した検定統計量 &mimetex(\normalsize z_{0c} ); を使って判定をする |