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健康統計の基礎・健康統計学 - 回帰
Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 19:49:35 JST (3698d)
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4th
> Regression
AND
OR
回帰 (regression)
データをもとに、ある変数(従属変数)を別の変数(独立変数)で 予測する式を作るための統計的手法を、 「
回帰分析
」(regression analysis)という。
とくに、独立変数が1つならば
単回帰分析
とよぶ。
▲
▼
回帰直線 (regression line)
▲
▼
回帰直線
散布図の各点
が近くに分布するような直線を回帰直線という。
回帰係数(回帰直線の傾き):
回帰直線のy切片(
x
=0 のときのyの値):
独立変数(説明変数:予測に使う変数):
従属変数(目的変数、基準変数:予測したい変数):
なお、回帰式は必ず
を通る
▲
▼
最小二乗法
観測値(または実測値)
と 推定値(または予測値)
との差(残差
)の二乗が最小になるような
と
を求める。
次の値が最小となるような、
a
と
b
を求める。
を足したものを、残差平方和
という
▲
▼
回帰式の計算
を独立変数(横軸)、
を従属変数(縦軸)としたときの回帰式(
への
からの回帰式)は次のようになる。
なお、
相関係数:
2変数の標準偏差:
,
2変数の共分散(偏差積和の平均)
回帰式を変形すると、次のようになる。
2変数の平均値:
,
2変数の偏差積和:
偏差平方和:
▲
▼
標準誤差
予測値と実測値のずれ(予測値の誤差;残差
)の標準偏差を、標準誤差
という
n−2 で割っているのは、2つの係数を推定したことによる自由度(後日説明)の修正のため
▲
▼
決定係数
相関係数の二乗を決定係数(または寄与率)という。
決定係数:
偏差平方和と残差平方和を使うと、次のように書くこともできる
決定係数は、0から1の値をとる。
推定(回帰式)の精度を表す指標である
従属変数
の分散の何%を予測値
の分散が説明しているか、を示す
だいたい、0.5以上であれば精度が高いといえる
▲
▼
回帰の概念
予測値
と従属変数の平均
との差は、一般に独立変数
とその平均
との差より小さくなる
→予測値と平均の差
との差は、独立変数と平均の差
との差より小さくなる
→予測値は独立変数に比べて平均に近づく
統計学的な現象で、「回帰効果」や「平均への回帰」ともいう
例)1回目の試験の結果が偏っていた(とくに良い、悪いなど)人について、2回目の試験結果を調べると、その平均値は1回目の結果よりも1回目の全体の平均値に近くなる(時間的には逆で考えてもよい)
例)父親と子どもの身長を比較して、とくに身長の高い父親でも、とくに身長の低い父親からでも、子どもたちの身長は父親たちの身長より平均に近くなる
例)とくに身長の高い人たちの父親の身長は、子どもたちの身長よりも平均に近い(全体の身長の分布は、父親たちも子どもたちも同じ)
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