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AND OR

母比率の推定

母集団から抽出した標本をもとに母集団の比率(母比率)を区間推定する

  • 選挙前の候補者の支持率を推定
  • 好き嫌いのようなアンケート調査から全体の傾向を推定できる

正規分布による近似(標本数の多い場合)

  • 二項分布(ある事象が起こるか起こらないかの確率の分布)は、試行回数 \normalsize n が十分大きい場合、正規分布に近似できることを利用
  • 母集団のある事象について、 \normalsize n 回の試行(標本の大きさが \normalsize n )の標本の比率(標本比率)を \normalsize \bar{p} とするとき
  • 母比率 \normalsize p の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
    \bar{p} - z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \hspace{5} \leq \hspace{5} p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} + z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } }
    • なお、標本比率を \normalsize \bar{p} = \frac{X}{n} とすると、その平均 \normalsize E( \bar{p} ) と分散 \normalsize V( \bar{p} ) は、次のようになる
      \begin{eqnarray}E( \bar{p} ) &=& E ( \frac{X}{n} ) = \frac{1}{n} E(X) = \frac{1}{n} np \\&=& p \\V( \bar{p} ) &=& V ( \frac{X}{n} ) = \frac{1}{n^2} V(X) = \frac{1}{n^2} np(1-p) \\&=& \frac{p(1-p)}{n}\end{eqnarray}

正規分布による近似(標本数の少ない場合)

  • 大きさが \normalsize N 母集団のある事象について、 大きさが \normalsize n )の標本の比率(標本比率)を \normalsize \bar{p} とするとき
  • 母比率 \normalsize p の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
    \bar{p} - z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } \hspace{5} \leq \hspace{5} p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} + z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} }
  • 最初の式(標本数が多い場合の式)より近似の精度が良い(母比率に近い値になる)

F分布から算出(標本数の少ない場合)

  • 母集団のある事象について、 \normalsize n 回の試行(標本の大きさが \normalsize n )の標本の比率(標本比率)を \normalsize \frac{x}{n} とするとき
  • 母比率 \normalsize p の信頼度 100(1-α)% の信頼限度は次のとおり
    • 信頼上限 :
      \frac{m_1 F_U}{m_1 F_U + m_2} , \hspace{10} m_1 = 2(x+1), \hspace{10} m_2 = 2(n-x)
      • 第1自由度 \normalsize m_1 、第2自由度 \normalsize m_2 に対応するF分布の値を \normalsize F_U とする
    • 信頼下限 :
      \frac{n_2 F_L}{n_1 F_L + n_2} , \hspace{10} n_1 = 2(n-x+1), \hspace{10} n_2 = 2x
      • 第1自由度 \normalsize n_1 、第2自由度 \normalsize n_2 に対応するF分布の値を \normalsize F_L とする

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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 00:49:35 HAST (3189d)