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AND OR

母平均の区間推定

母集団から抽出した標本をもとに母集団の平均（母平均）を区間推定する

  • 大卒100人の初任給のデータからすべての大卒の初任給の平均を推定
  • あるクラスの男子の身長のデータから日本全体の同年代の男子の身長の平均を推定
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母分散が既知の場合

  • 分散が \normalsize \sigma^2 母集団から抽出した大きさ \normalsize n の標本の平均（標本平均）が \normalsize \bar{x} であるとき
  • 母平均（母集団の平均） \normalsize \mu の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
    \bar{x} - z( \alpha / 2) \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + z( \alpha / 2) \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} }
    • なお \normalsize z は次のように標準化した統計量で、標準正規分布にしたがう
      z = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } }
  • 標本平均 \normalsize \bar{x} の分布は正規分布にしたがい（中心極限定理より）、平均は \normalsize \mu 、分散は \normalsize \frac{ \sigma^2}{n} となる
  • 標本数が多い場合にも使う
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母分散が未知の場合（t推定）

  • 母標準偏差 \normalsize \sigma のかわりに、標本標準偏差 \normalsize s を用いる
    • 分散は不偏分散になる
      s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})
  • 母集団から抽出した大きさ \normalsize n の標本の平均（標本平均）が \normalsize \bar{x} 、分散（不偏分散）\normalsize s^2 がであるとき
  • 母平均 \normalsize \mu の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
    \bar{x} - t(n-1, \alpha / 2) \frac{ s }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + t(n-1, \alpha / 2) \frac{ s }{ \sqrt{n} }
    • \normalsize t は次のように標準化した統計量で、t分布にしたがい、平均は \normalsize \mu 、分散は \normalsize \frac{ s^2}{n} となる
      t = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ s }{ \sqrt{n} } }
    • \normalsize t(n-1, \alpha / 2) は、自由度 n-1、確率α/2 のtの値
  • 標本数が少ない場合にも用いる
    • 自由度（すなわち標本数）が増えれば、t分布が標準正規分布 N(0, 1) に近づくので、母分散が既知の場合と同じになる
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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 19:49:35 JST (3699d)