健康統計の基礎・健康統計学 - 2015/7th/Probability の変更点

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TITLE:確率
*確率 [#oe5dca75]


**事象 [#y5ac6fb3]
-あることを実施して（''試行''）、それによって起こった結果を「''事象''」といい、事象 A を &mimetex(\normalsize A ); と表す
--全体の事象のことを「''全事象''」といい、 &mimetex(\normalsize \Omega ); と表す
--決して起こらないことを「''空事象''」といい、 &mimetex(\normalsize \phi ); と表す
--事象 A または B が起こる確率を「''和事象''」といい、 &mimetex(\normalsize A \cup B ); と表す
--事象 A と B が同時に起こる確率を「''積事象''」といい、 &mimetex(\normalsize A \cap B ); と表す


**確率 (Probability) [#v8e03e0e]
-「確率」とは、あることが起こる結果の割合、つまり起こりやすさの目安である
--ある事象 A が起こる確率を、 &mimetex(\normalsize \mathrm{P}(A) ); と表す
--確率は、0 から 1 の間の値をとる
#mimetex(){{
0 \leq \mathrm{P}(A) \leq 1
}}
---全事象の確率は &mimetex(\normalsize \mathrm{P}( \Omega ) = 1 ); となる
---空事象の確率は &mimetex(\normalsize \mathrm{P}( \phi ) = 0 ); となる


***数学的確率 [#a89ef257]
-あることが起こる結果が何通りあるかを元にしてだす確率を、「''数学的確率''」という
-例えば…
--サイコロの目の出方は6通り
--3の目が出る確率は 1/6
-事象Aの確率は、事象 A の起こる場合の数 a を、すべての場合の数（何通りあるかすべて数えたもの）N で割ったものである
#mimetex(){{
\mathrm{P}(A) = \frac{a}{N}
}}


***統計的確率 [#hbfde005]
-実際に起こった結果を元にしてだす確率を、「''統計的確率''」という
-例えば…
--実際にサイコロを60回投げたら、3の目が13回出た
--この時点での、3の目が出た確率は 13/60
-事象Aの確率は、事象Aの起こった回数 r を、すべての起こった回数 n で割ったものである
#mimetex(){{
\mathrm{P}(A) = \frac{r}{n}
}}

***大数の法則 [#pb33d92d]
-試行（あることを実施する）回数を増やせば増やすほど、統計的確率が数学的確率に近づいていくことを、「''大数の法則''」という
-例えば…
--実際にサイコロを1,000回投げたら、3の目が160回出た
--その結果、3の目が出た確率はほぼ 1/6
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(A) &=& \lim_{n\to\infty}\frac{r}{n}
&=& \frac{a}{N}
\end{eqnarray}
}}



**加法定理 [#k9f3d421]

***排反前提の場合 [#c73da2cd]
-2つ、または2つ以上の''排反事象''（同時に起こりえない事象）が起こる確率は、
それぞれの確率の和である
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(A \cup B) &=& \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) \\[10]
\mathrm{P}(A \cup B \cup C \cdots ) &=& \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}(C) + \cdots \\
\end{eqnarray}
}}
--同時に起こりえない（2つ、または2つ以上の）事象を「''排反事象''」という
#mimetex(){{
A \cup B = \phi
}}
#ref(2010/5th/Probability/HS0500.png,nolink,排反事象の場合の加法定理)
-例：52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはダイヤを引く確率は、次のとおり
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{13}{52} \\[10]
&=& \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\end{eqnarray}
}}


***一般の場合 [#j687009f]
-2つ、または2つ以上の事象が起こる確率は、
それぞれの確率の和から、それぞれの事象が同時に起こる確率を引いたもの
#mimetex(){{
\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) 
}}
#ref(2010/5th/Probability/HS0501.png,nolink,一般の場合の加法定理)
-例：52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはＡ（エース）を引く確率は、次のとおり
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} \\[10]
&=& \frac{4}{13}
\end{eqnarray}
}}


**乗法定理 [#ed18daad]
***条件つき確率 [#s4ab9e7b]
-「A が起こったときに B が起きる」事象を、&mimetex(\normalsize B \mid A ); と表す
-「A が起こったときに B が起きる」事象の確率、つまり、A が起こったという条件のもとで B が起きる確率を、「''条件つき確率''」といい、&mimetex(\normalsize \mathrm{P}( B \mid A ) ); と表す
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\
\end{eqnarray}
}}
-上の式の両辺に &mimetex(\normalsize \mathrm{P}(A) ); を掛けると、次のように式が変形できる
#mimetex(){{
\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B \mid A)
}}
-- B が A に関係なく起きる（事象 A と B が独立な事象である）場合、「乗法定理」が導き出せる

-例：サイコロを投げて、奇数の目が出たとき（事象 A ）に、それが1の目である（事象 B ）確率は、次のとおり
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\[10]
&=& \frac{1}{3}
\end{eqnarray}
}}
--A = 奇数の目が出る = {1, 3 ,5}
--B = 1の目が出る = {1}
-例：ある男女100人について結婚しているかどうか調査した結果が、次のようになった。この100人から1人を選んだとき、それが結婚している男性である確率は？
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~男性|~女性|~合計|
|~結婚している|26|21|47|
|~結婚していない|29|24|53|
|~合計|55|45|100|
--A = 選んだ人が男性である = 55人
--&mimetex(\normalsize A \cap B ); = 結婚している男性である = 26人
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\[10]
&=& \frac{26}{55}
\end{eqnarray}
}}


***乗法定理 [#vedb13a9]
-2つ、または2つ以上の互いに独立な事象が同時に（または続けて）起こる確率は、
確率の積になる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(A \cap B) &=& \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B) \\[10]
\mathrm{P}(A \cap B \cap C \cdots ) &=& \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B) \times \mathrm{P}(C) \times \cdots \\
\end{eqnarray}
}}
-「''独立事象''」とは、ある事象の発生する確率が、他のいずれの事象の影響も受けない（他の事象に関係なく発生する事象）
-例：サイコロを2回投げて、2回とも1の目が出る確率（1の目が出た後、1の目が出る確率）は、次のとおり
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}(A \cap B) &=& \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\[10]
&=& \frac{1}{36}
\end{eqnarray}
}}



**余事象 [#zbceabea]
-ある事象Aについて、その事象がおこらないすべての場合（の事象）を「''余事象''」 &mimetex(\normalsize \bar{A} ); と表す
-余事象が起こる確率を &mimetex(\normalsize \mathrm{P}( \bar{A}) ); と表す
#mimetex(){{
\mathrm{P}( \bar{A}) = 1 - \mathrm{P}(A)
}}
#ref(2010/5th/Probability/HS0502.png,nolink,余事象)
-例：サイコロを2回投げたとき、「''少なくとも''」1回は3の目が出る確率は、次のとおり
++「少なくとも〜」の場合は、余事象の確率を考える
++サイコロを1回投げて、3の目が全く出ない確率は 5/6
++2回目も3の目が出ない確率は、次のようになる
#mimetex(){{
\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}
}}
++サイコロを2回目投げて何かが出る確率（=1）から、2回とも3の目が出ない確率をひけば、少なくとも1回は3の目が出る確率になる
#mimetex(){{
1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
}}