確率
事象
- あることを実施して(試行)、それによって起こった結果を「事象」といい、事象 A を と表す
- 全体の事象のことを「全事象」といい、 と表す
- 決して起こらないことを「空事象」といい、 と表す
- 事象 A または B が起こる確率を「和事象」といい、 と表す
- 事象 A と B が同時に起こる確率を「積事象」といい、 と表す
確率 (Probability)
- 「確率」とは、あることが起こる結果の割合、つまり起こりやすさの目安である
- ある事象 A が起こる確率を、 と表す
- 確率は、0 から 1 の間の値をとる
- 全事象の確率は となる
- 空事象の確率は となる
数学的確率
- あることが起こる結果が何通りあるかを元にしてだす確率を、「数学的確率」という
- 例えば…
- サイコロの目の出方は6通り
- 3の目が出る確率は 1/6
- 事象Aの確率は、事象 A の起こる場合の数 a を、すべての場合の数(何通りあるかすべて数えたもの)N で割ったものである
統計的確率
- 実際に起こった結果を元にしてだす確率を、「統計的確率」という
- 例えば…
- 実際にサイコロを60回投げたら、3の目が13回出た
- この時点での、3の目が出た確率は 13/60
- 事象Aの確率は、事象Aの起こった回数 r を、すべての起こった回数 n で割ったものである
大数の法則
- 試行(あることを実施する)回数を増やせば増やすほど、統計的確率が数学的確率に近づいていくことを、「大数の法則」という
- 例えば…
- 実際にサイコロを1,000回投げたら、3の目が160回出た
- その結果、3の目が出た確率はほぼ 1/6
加法定理
排反前提の場合
- 2つ、または2つ以上の排反事象(同時に起こりえない事象)が起こる確率は、
それぞれの確率の和である
- 同時に起こりえない(2つ、または2つ以上の)事象を「排反事象」という
- 例:52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはダイヤを引く確率は、次のとおり
一般の場合
- 2つ、または2つ以上の事象が起こる確率は、
それぞれの確率の和から、それぞれの事象が同時に起こる確率を引いたもの
- 例:52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはA(エース)を引く確率は、次のとおり
乗法定理
条件つき確率
- 「A が起こったときに B が起きる」事象を、 と表す
- 「A が起こったときに B が起きる」事象の確率、つまり、A が起こったという条件のもとで B が起きる確率を、「条件つき確率」といい、 と表す
- 上の式の両辺に を掛けると、次のように式が変形できる
- B が A に関係なく起きる(事象 A と B が独立な事象である)場合、「乗法定理」が導き出せる
- 例:サイコロを投げて、奇数の目が出たとき(事象 A )に、それが1の目である(事象 B )確率は、次のとおり
- A = 奇数の目が出る = {1, 3 ,5}
- B = 1の目が出る = {1}
- 例:ある男女100人について結婚しているかどうか調査した結果が、次のようになった。この100人から1人を選んだとき、それが結婚している男性である確率は?
| 男性 | 女性 | 合計 |
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結婚している | 26 | 21 | 47 |
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結婚していない | 29 | 24 | 53 |
---|
合計 | 55 | 45 | 100 |
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- A = 選んだ人が男性である = 55人
- = 結婚している男性である = 26人
乗法定理
- 2つ、または2つ以上の互いに独立な事象が同時に(または続けて)起こる確率は、
確率の積になる
- 「独立事象」とは、ある事象の発生する確率が、他のいずれの事象の影響も受けない(他の事象に関係なく発生する事象)
- 例:サイコロを2回投げて、2回とも1の目が出る確率(1の目が出た後、1の目が出る確率)は、次のとおり
余事象
- ある事象Aについて、その事象がおこらないすべての場合(の事象)を「余事象」 と表す
- 余事象が起こる確率を と表す
- 例:サイコロを2回投げたとき、「少なくとも」1回は3の目が出る確率は、次のとおり
- 「少なくとも〜」の場合は、余事象の確率を考える
- サイコロを1回投げて、3の目が全く出ない確率は 5/6
- 2回目も3の目が出ない確率は、次のようになる
- サイコロを2回目投げて何かが出る確率(=1)から、2回とも3の目が出ない確率をひけば、少なくとも1回は3の目が出る確率になる
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