健康統計の基礎・健康統計学 - 2015/15th/Wilcoxon の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 2015/15th/Wilcoxon へ行く。

TITLE:*ウィルコクソンの符号付順位検定
*ウィルコクソンの符号付順位検定 [#q621149a]

-対応のある2つの標本について、それぞれのデータの対（各組）の差の順にもとづいて検定する
-変数が順序尺度、もしくは、正規性があるか不明で間隔・比例尺度の場合に使うことができる

**検定の対象 [#i36c0164]
対応のある2組の標本（標本数は同じ）について考える。

2つの標本AとBについて、データを表にまとめると次のようになったとする。
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~1|~2|~3|~4|~5|~6|~7|~8|~9|~10|
|~標本A|269|230|365|282|295|212|346|207|308|257|
|~標本B|273|213|383|282|297|213|351|208|294|238|

-2つの標本のデータの各組を差 &mimetex(\normalsize d_i = A_i - B_i); の絶対値を求める
--差が0の組は、この後の手続きから除外する
-それぞれの差の絶対値 &mimetex(\normalsize |d_i|); に対応する組の数をもとに、差の絶対値の小さいほうから順位をつける
--同一順位の場合は、次のように扱う（平均順位）
---2位が2つある場合：2位と3位の中間 (2+3)/2=2.5位を順位とする
---4位が3つある場合：4位と5位と6位の中間 (4+5+6)/3=5位を順位とする
-標本数 &mimetex(\normalsize n ); を、差が0でない組の数とする

|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ |~1|~2|~3|~4|~5|~6|~7|~8|~9|~10|
|~標本A|269|230|365|282|295|212|346|207|308|257|
|~標本B|273|213|383|282|297|213|351|208|294|238|
|~差 '''d'''|-4|17|18|0|-2|-1|-5|-1|14|19|
|~順位|4|7|8| |3|1.5|5|1.5|6|9|


**ウィルコクソンの符号付順位検定 [#q1ce2989]
-データ対の順位がわかる場合は、符号検定よりも効率が良い

***帰無仮説と対立仮説 [#i9abbb97]
対応のある2組の標本の代表値に差があるかどうかを調べる。

-帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); は「2組の標本の代表値に差はない」
-対立仮説 &mimetex(\normalsize H_{1} ); は「2組の標本の代表値に差がある」

***検定統計量の算出 [#o36222cb]

-2つの標本の差 &mimetex(\normalsize d_i); の順位の和を、次のように求める
--差 &mimetex(\normalsize d_i); が正の値の順位の和を &mimetex(\normalsize T+); とする
--差 &mimetex(\normalsize d_i); が負の値の順位の和を &mimetex(\normalsize T-); とする
-&mimetex(\normalsize T+ ); と &mimetex(\normalsize T- ); の小さい方の値を &mimetex(\normalsize T_0 ); とする。
--標本数 &mimetex(\normalsize n ); は、差が0でない組の数とする
#mimetex(){{
T_0 = \min ( T+ , T-)
}}

-&mimetex(\normalsize n \leq 25 ); （または &mimetex(\normalsize n \leq 50 ); ）の場合…
--ウィルコクソンの符号付順位検定表から、標本数 &mimetex(\normalsize n ); に対応する &mimetex(\normalsize T ); の値を求める

-&mimetex(\normalsize n > 25 ); （または &mimetex(\normalsize n > 50 ); ）の場合…
--平均 &mimetex(\normalsize \mu_{T} ); と標準偏差  &mimetex(\normalsize \sigma_{T} ); を次の式から求める
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\mu_{T} &=& \frac{n(n+1)}{4} \\
\sigma_{T} &=& \sqrt{ \frac{ n(n+1)(2n+1) }{24} }
\end{eqnarray}
}}
--標準正規分布にしたがう、検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); を次の式から算出する
#mimetex(){{
z_0 = \frac{ | T_0 - \mu_{T} | }{ \sigma_{T} }
}}


***仮説の判定（検定表からの算出） [#he4b582f]

-&mimetex(\normalsize n \leq 25 ); （または &mimetex(\normalsize n \leq 50 ); ）の場合…
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize T_0 \geq T);
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize T_0 < T);
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」

#br

-&mimetex(\normalsize n > 25 ); （または &mimetex(\normalsize n > 50 ); ）の場合…
-検定統計量 &mimetex(\normalsize z_0 ); と、有意水準  &mimetex(\normalsize \alpha ); の有意点の値（標準正規分布表などから求める）を使って、判定をする
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を棄却 : &mimetex(\normalsize |z_0| > z(\alpha/2));
---「有意に差がある」「検定の結果、有意である」
--帰無仮説 &mimetex(\normalsize H_{0} ); を採択 : &mimetex(\normalsize |z_0| < z(\alpha/2));
---「有意に差はない」「検定の結果、有意でない」「差があるとはいえない」