健康統計の基礎・健康統計学 - 2015/10th/Population_Correlation_Coefficien の変更点

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TITLE:母相関係数の推定
*母相関係数の推定 [#hf4b4f3e]

**母相関係数の推定の手順 [#xa6d9846]
おおまかに、次のような手順で母相関係数の推定を行う。
+母相関係数の有意性の検定（無相関の検定）
+母相関係数の推定


**母相関係数の有意性の検定 [#c2b14c72]
-母集団において無相関かどうか（母相関係数 &mimetex(\normalsize \rho = 0); かどうか）を調べる
--標本において相関があっても、母集団では相関が（ほとんど）ない場合がある

次のような手順でチェックをする。
+仮説を立てる
--「母相関係数は0である」という仮説を考える（帰無仮説という）
+有意水準を設定する
--仮説が成り立たない（棄却するという）確率を有意水準という
--よくα=0.05かα=0.01が使われる
+tの値を算出する
#mimetex(){{
t_0 = \frac{ r \sqrt{ n-2 } }{ \sqrt{ 1 - r^2 } }
}}
--標本相関係数を &mimetex(\normalsize r ); 、標本数を &mimetex(\normalsize n ); とする
+t分布表から有意水準に対応するtの値（自由度 n-2 ）をもとめる
--t分布表から、確率 1-α、自由度 n-2 のtの値を算出する
+2つのtの値をもとに判定する
-- &mimetex(\normalsize t_0 \geq t_{ (\alpha / 2) }(n - 2) ); の場合
---帰無仮説を棄却する、すなわち、 &mimetex(\normalsize \rho \neq 0 ); で母相関係数は0ではない（続けて、区間を推定する）
-- &mimetex(\normalsize t_0 < t_{ (\alpha / 2) }(n - 2) ); の場合
---帰無仮説を棄却しない、すなわち、 &mimetex(\normalsize \rho = 0 ); で母相関係数は無相関（ここで終わり）


**母相関係数の推定 [#t498bc35]
次のような手順で推定する。
+標本相関係数 &mimetex(\normalsize r ); をz変換する
--&mimetex(\normalsize r ); を正規分布で近似させるために、フィッシャー(Fisher)のz変換で変換する
#mimetex(){{
z_r = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+r}{1-r} \right)
}}
--&mimetex(\normalsize \ln ); は自然対数で &mimetex(\normalsize \log_e ); をあらわす
--&mimetex(\normalsize z ); は標準偏差 &mimetex(\normalsize s_z = \frac{1}{ \sqrt{n-3} } ); の正規分布で近似される
+母相関係数をz変換した、 &mimetex(\normalsize z_{ \rho } ); の信頼限界を算出する
--信頼上限 :
#mimetex(){{
z_U = z_r + z_{( \alpha / 2)} \frac{ 1 }{ \sqrt{ n-3 } }
}}
--信頼下限 :
#mimetex(){{
z_L = z_r - z_{( \alpha / 2)} \frac{ 1 }{ \sqrt{ n-3 } }
}}
+&mimetex(\normalsize z_U ); と &mimetex(\normalsize z_L ); を &mimetex(\normalsize r ); に逆変換して、&mimetex(\normalsize \rho ); の信頼限界を求める
--信頼上限 :
#mimetex(){{
\rho_U = \frac{ e^{ 2z_U} - 1 }{ e^{ 2z_U} + 1 }
}}
--信頼下限 :
#mimetex(){{
\rho_L = \frac{ e^{ 2z_L} - 1 }{ e^{ 2z_L} + 1 }
}}