健康統計の基礎・健康統計学 - 2012/6th/Correlation の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 2012/6th/Correlation へ行く。

TITLE:相関
*相関 (correlation) [#p86b56d9]
2種類のデータの間に何らかの関係がある場合、
統計学的な関係性がみられるときに、
「''相関がある''」や「''相関関係がある''」といいます。
-データの大小に関して、一方の値が変わるにつれて、もう一方の値も変わる
--身長と体重
--収縮期血圧と拡張期血圧

**データの尺度と相関関係 [#e10b47dd]
データを大雑把に、量的データ（比例尺度、間隔尺度）と
質的データ（順序尺度、名義尺度）に分けるときに、
データの尺度によって、相関関係を表す指標は異なります。
次の表を参考にしてください。

|LEFT:|LEFT:|c
|~2つのデータの尺度|~相関関係を表す指標|h
|量的データ×量的データ|ピアソンの積率相関係数|
|順位データ×順位データ|スピアマンの順位相関係数|
|量的データ×質的データ|相関比|
|質的データ×質的データ|クラメールの連関（関連）係数|

この授業では、よく利用される、
ピアソンの積率相関係数とスピアマンの順位相関係数を扱います。


**相関係数 (correlation coefficient) [#z9c93011]

***相関の種類 [#te624a4e]
-線形相関：相関（関係）を示すグラフ（散布図）が1本の直線で近似できる
--順相関：相関が正の場合（散布図が右肩あがりの傾向）
--逆相関：相関が負の場合（散布図が右肩さがりの傾向）
--無相関：相関がない場合（散布図がまばらになっている）
-非線形相関：相関を示すグラフが指数関数や2次・3次関数のように曲線状になる

***偏差積和 [#u3fa642f]
-偏差積和（偏差の積の総和）&mimetex(\normalsize S_{xy}); とは、偏差（各データと平均の差）の積の総和である。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
S_{xy} &=& \sum_{i=1}^n d_x d_y \\
&=& \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})
\end{eqnarray}
}} 
--標本数: &mimetex(\normalsize n); 
--偏差: &mimetex(\normalsize d_x); , &mimetex(\normalsize d_y); 
-偏差の積とデータの分布は次のようなイメージになる
#ref(2011/6th/Correlation/hstat0600.png,nolink,偏差の積のイメージ)


***相関係数（ピアソンの積率相関係数） [#e73696e0]
-相関係数（ピアソン(Pearson)の積率相関係数） &mimetex(\normalsize r); は、相関の程度をあらわし、次の値をとる。&br;（一般に相関係数といえばコレ）
#mimetex(){{
-1 \leq r \leq +1
}}
--完全相関：相関係数がちょうど±1の場合
--無相関：相関係数が0の場合

-相関係数 &mimetex(\normalsize r); は、次の式で求められる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{1}{n} \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) }{s_x s_y} \\
&=& \frac{1}{n} \frac{ S_{xy} }{s_x s_y}
\end{eqnarray}
}}
--標本数: &mimetex(\normalsize n); 
--標準偏差: &mimetex(\normalsize s_x); , &mimetex(\normalsize s_y); 
--偏差積和: &mimetex(\normalsize S_{xy}); 

-または、次の式でも求められる（統計量だけから計算できる）
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{ 1 }{s_x s_y} \left( \frac{ \sum x_i y_i }{n} - \bar{x}\bar{y} \right) \\
&=& \frac{ 1 }{s_x s_y} \left( \frac{ T_{xy} }{n} - \bar{x} 
\bar{y} \right)
\end{eqnarray}
}}
--積和（2変数の積の合計）：
#mimetex(){{
T_{xy} = \sum_{i=1}^n x_i y_i
}} 

***共分散（covariance） [#u8d2f203]
-共分散 &mimetex(\normalsize s_{xy}); は、偏差積和を標本数で割ったもの。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
s_{xy} &=& \frac{1}{n} S_{xy} \\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) \\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_x \cdot d_y
\end{eqnarray}
}}
--標本数: &mimetex(\normalsize n); 
--偏差: &mimetex(\normalsize d_x); , &mimetex(\normalsize d_y); 
-共分散 &mimetex(\normalsize s_{xy}); を使うと、相関係数は次のように表せる。
#mimetex(){{
r = \frac{ s_{xy} }{s_x s_y}
}}

***偏差平方和 [#pb2e9cd9]
-偏差平方和 &mimetex(\normalsize S_{xx}); または &mimetex(\normalsize S_{yy}); は、偏差の二乗の合計を計算したもの
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
S_{xx} &=& \sum_{i=1}^n {d_x}^2 \\
&=& \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
\end{eqnarray}
}} 
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
S_{yy} &=& \sum_{i=1}^n {d_y}^2 \\
&=& \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2
\end{eqnarray}
}} 
- &mimetex(\normalsize x); と &mimetex(\normalsize y); についての偏差平方和 &mimetex(\normalsize S_{xx}); と &mimetex(\normalsize S_{yy}); を使うと、相関係数は次のように表せる。
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{ S_{xy} }{ \sqrt{ S_{xx} S_{yy} } } \\
&=& \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 } }
\end{eqnarray}
}}


**相関関係と因果関係 [#q9f18fc2]

***相関関係から因果関係を確定するときの注意点 [#fdb8b64d]
何でもよいから2組のデータの関係性を調べればよいわけではありません。
次のような5つの因果関係が認められる場合に、
相関関係を調べることが有効になります。

+関連の時間性
--原因は結果の前にあるか
+関連の密接性
--原因が結果に密接に関連するか
+関連の特異性
--原因が結果にどの程度かかわっているか
+関連の普遍性
--対象や時期、方法などが異なっていても、類似した結果が得られるか
+関連の合理性
--従来の理論や経験から考えて矛盾がないか

***疑似相関（見かけの相関） [#c90ac778]
直接の相関はないが、''何かある要因が2つの事象と相関している''ために、
2つの事象に相関がみられるケースがあります。

このような場合を「''疑似相関''」といいます。
つまり、相関関係があるからといって、
それが必ずしも因果関係であるとは限らない場合です。

-「ビアホールでの生ビールの売り上げ数」と「アイスクリーム店のお客の数」
--2つの事象には「気温」「天候」などが相関している
-「進行性の疾患をもつ患者の疾患についての知識」と「その疾患の進行度」
--2つの事象には「疾患の内容」「治療期間」などが相関している

***相関の程度 [#o7e4fcdb]
相関係数の値から、相関の程度を次のように記述できます。

|CENTER:|LEFT:|c
|-1.0≦相関係数'''r'''<-0.7|強い負の相関がある|
|-0.7≦相関係数'''r'''<-0.4|かなりな負の相関がある|
|-0.4≦相関係数'''r'''<-0.2|やや負の相関がある|
|-0.2≦相関係数'''r'''≦0.2|ほとんど相関がない|
|0.2<相関係数'''r'''≦0.4|やや正の相関がある|
|0.4<相関係数'''r'''≦0.7|かなりな正の相関がある|
|0.7<相関係数'''r'''≦1|強い正の相関がある|

なお、標本数が少ない場合は、
母相関係数の推定や検定（後日説明）が必要となります。

**順位相関係数（rank correlation coefficient） [#sa466d65]
相関がない場合や順位に意味がある・順位だけしかわからない場合には、
順位データ（データを小さいほうから並べた順位）をもとに、
相関を求める方法が有効になります。

-英語のテストの順位と数学のテストの順位の相関
-2つの銘柄の株価の相関（経済分野）
-薬と奇形児発生の相関（医学分野）

また、順位尺度のデータだけでなく、
比例・間隔尺度のデータについても何らかの順位を求めることで適用できます。

-スピアマン（Spearman）の順位相関係数 &mimetex(\normalsize r_s); は、
相関係数と同様、次の値をとる。
#mimetex(){{
-1 \leq r_s \leq +1
}}
-同一順位の場合は、次のように扱う（平均順位）
--2位が2つある場合：2位と3位の中間 (2+3)/2=2.5位を順位とする
--4位が3つある場合：4位と5位と6位の中間 (4+5+6)/3=5位を順位とする
-順位相関係数は、次のようにして求められる。
#mimetex(){{
r_s = 1 - \frac{ 6 \sum_{i=1}^n {d_i}^2 }{n^3 - n}
}}
--標本数: &mimetex(\normalsize n);
--i 番目の順位差: &mimetex(\normalsize d_i);

|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~データ1の順位|~データ2の順位|~順位差 &mimetex(\normalsize d); |~順位差の二乗 &mimetex(\normalsize d^2);|h
|&mimetex(\normalsize x_1);|&mimetex(\normalsize y_1);|&mimetex(\normalsize d_1 = x_1 - y_1);| &mimetex(\normalsize {d_1}^2 );|
|&mimetex(\normalsize x_2);|&mimetex(\normalsize y_2);|&mimetex(\normalsize d_2 = x_2 - y_2);| &mimetex(\normalsize {d_2}^2 );|
|&mimetex(\normalsize x_3);|&mimetex(\normalsize y_3);|&mimetex(\normalsize d_3 = x_3 - y_3);| &mimetex(\normalsize {d_3}^2 );|
|…|…|…|…|
|&mimetex(\normalsize x_n);|&mimetex(\normalsize y_n);|&mimetex(\normalsize d_n = x_n - y_n);| &mimetex(\normalsize {d_n}^2 );|
|計||0| &mimetex(\normalsize \sum_{i=1}^n {d_n}^2 );|