健康統計の基礎・健康統計学 - 2012/10th/Expected_Value の変更点

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TITLE:確率変数の期待値と分散
*確率変数の期待値と分散 [#q3c54df0]


**期待値（平均値） [#ue6d97f0]
***期待値とは [#x797a328]
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の確率分布が次のようなとき、
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
|~ &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計|
|~確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 |
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の平均値、または期待値は、次のように表せる
#mimetex(){{
\mu = E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n 
}}
-期待値とは、1回の試行の結果として期待される値の大きさを表す

***期待値の計算例（1） [#s01a9426]
-サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率分布は次のようになる
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
|~ &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計|
|~確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); |
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の期待値（平均値）は、 &mimetex(\normalsize n = 6 ); なので、
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
x_1 = 1, \hspace{5} x_2 = 2, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} x_6 = 6 \\[10]
p_1 = \frac{1}{6}, \hspace{5} p_2 = \frac{1}{6}, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} p_6 = \frac{1}{6}  
\end{eqnarray}
}}
-したがって、次のようになる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
E(X) &=& 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} \\[10]
&=& \frac{21}{6} = 3.5
\end{eqnarray}
}}
-つまり、サイコロを何回も投げたときに、でた目の平均をとると 3.5 になることを示している

***期待値の計算例（2） [#i04aaec9]
-サイコロを5回連続で投げたときに1の目が出る回数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); とすると、その確率分布は次のようになる
|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|~ &mimetex(\normalsize X ); |0|1|2|3|4|5|
|~確率|0.4019|0.4019|0.1608|0.0322|0.0032|0.0001|
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の期待値（平均値）は、 &mimetex(\normalsize n = 6 ); なので、
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
&& x_1 = 0, \hspace{5} x_2 = 1, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} x_6 = 5 \\[10]
&& p_1 = 0.4019, \hspace{5} p_2 = 0.4019, \hspace{5} \cdots , \hspace{5} p_6 = 0.0001  
\end{eqnarray}
}}
-したがって、次のようになる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
E(X) &=& 0 \times 0.4019 + 1 \times 0.4019 + 2 \times 0.1608 + 3 \times 0.0322 + 4 \times 0.0032 + 5 \times 0.0001 \\[10]
&\simeq& 0.83
\end{eqnarray}
}}
-つまり、サイコロを5回連続投げて1の目が出るのは1回あるかないか程度であることを示している

***期待値の計算例（3） [#b0e1b6c9]
-宝くじの期待値を求めることもできる。宝くじの場合は「当せん金×当せん確率」の合計が期待値となる。
-例えば、平成21年年末ジャンボ宝くじは、1ユニット（1000万枚）あたり、次のような当せん本数になっている。なお、当せん確率は「当せん本数÷1000万×100」から求めている。
|CENTER:|RIGHT:|RIGHT:|RIGHT:|c
|~等級|CENTER:~当せん金|CENTER:~当せん本数|CENTER:~当せん確率|
|1等|200,000,000円|1本|0.00001%|
|1等前後賞|50,000,000円|2本|0.00002%|
|1等組違い賞|100,000円|99本|0.00099%|
|2等|100,000,000円|2本|0.00002%|
|3等|5,000,000円|10本|0.0001%|
|4等|100,000円|600本|0.006%|
|5等|10,000円|10,000本|0.1%|
|6等|3,000円|100,000本|1%|
|7等|300円|1,000,000本|10%|
|元気に2010年賞|1,000,000円|100本|0.001%|
-宝くじがいくら当たるかの期待値を調べるには、「当せん金×当せん確率」の合計を求めるので、
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
E(X) &=& 200,000,000 \times 0.00001% + 50,000,000 \times 0.00002% + \cdots + 300 \times 10% + 1,000,000 \times 0.001% \\[10]
&=& 141.99
\end{eqnarray}
}}
-つまり、宝くじ1枚（300円）を買うと、1枚につき141.99円の還元が期待できる、ということを示している。

***期待値と算術平均との関係 [#k3778712]
-n 個のデータ &mimetex(\normalsize x_1 , x_2 , \cdots , x_n ); の平均値は、次のように表せる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n}  \\[10]
&=& x_1 \times \frac{1}{n} + x_2 \times \frac{1}{n} + \cdots + x_n \times \frac{1}{n}
\end{eqnarray}
}}
-ここで確率について、&mimetex(\normalsize p_1 = \frac{1}{n} , p_2 = \frac{1}{n} , \cdots , p_n = \frac{1}{n} ); とおく、つまり各々の確率が等しいと考えると、
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\bar{x} &=& x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \\[10]
&=& E(X)
\end{eqnarray}
}}
-すなわち、各々の確率が等しくても等しくなくても、平均値（期待値）を求めることができる


**分散と標準偏差 [#l8003537]
***確率変数の分散と標準偏差 [#h14c61d5]
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の確率分布が次のようなとき、
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
|~ &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計|
|~確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 |
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の分散は次のように表す
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\sigma^2 = V(X) &=& (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n \\[10]
&=& \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) p_i
\end{eqnarray}
}}
- &mimetex(\normalsize \mu ); は期待値 &mimetex(\normalsize E(X) ); 簡単に表したもの
-分散の正の平方根を、確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の標準偏差といい、次のように表す
#mimetex(){{
\sigma = \sqrt{ V(X) }
}}

***確率変数の分散と標準偏差の特徴 [#k32917a5]
-分散や標準偏差が小さいほど、確率変数の値は平均に集中し、ばらつきが小さい
-分散や標準偏差が大きいほど、確率変数の値は平均から離れ、ばらつきが大きい
-分散は変数の単位の2乗を表す（例えば変数の単位がcmなら、分散の単位cm^2）ため、元の単位と同じ標準偏差を用いて平均からのばらつきを表す

***確率変数の分散と標準偏差の計算 [#v4532f58]
-サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率分布は次のようになる
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
|~ &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計|
|~確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); |
-したがって、分散は次のようにして求められる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\sigma^2 = V(X) &=& (1 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2 - 3.5)^2  \times \frac{1}{6} + \cdots + (6 - 3.5)^2  \times \frac{1}{6} \\[10]
&=& \frac{35}{12} \simeq 2.92
\end{eqnarray}
}}
-また、標準偏差は次のようになる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\sigma &=& \sqrt{ V(X) } \\[10]
&=& \sqrt{ \frac{35}{12} } \simeq 1.71
\end{eqnarray}
}}
-つまり、サイコロを何回も投げたとき、そのでた目の平均が 3.5 ± 1.71 （1.79〜5.21）の範囲になる確率が高いことを示している