健康統計の基礎・健康統計学 - 2011/13th/Estimation の変更点

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TITLE:点推定と区間推定
*点推定と区間推定 [#d8c14b64]

**点推定（point estimation） [#sb975a8e]
***点推定とは [#ve6b3370]
-標本の特性値1つから母集団の特性値を推定する
--母数（パラメータ）：母集団の特性値（統計量）
---母平均（母集団の平均）、母分散（母集団の分散）、母比率（母集団の比率）
---直接調べることはできない
--推定量：標本をもとに母数として推定した統計量
---標本平均（標本の平均）、不偏分散（標本の分散）、標本比率（標本の比率）
---推定値：推定量から求めた具体的な値
-点推定では、標本の推定値が必ずしも母数と一致するとは限らない（たいてい誤差が生じる）

***推定量の望ましい性質 [#df4f149a]
-不偏性
--その期待値（平均値）が母数と一致する推定量を「不偏推定量」という
---標本平均について、その期待値は母平均に一致する（中心極限定理へ）
-一致性
--標本数を大きくしていくと推定値が母数に近づく推定量を「一致推定量」という
---[[大数の法則>../../9th/Probability#pb33d92d]]から明らか（統計的確率は数学的確率に近づく）
-有効性
--ある母数に対して2つ以上の推定量がある場合に分散（誤差）の小さい推定量を「有効推定量」という
---標本の中央値に比べ、標本平均の方が、分布の分散が小さい


**区間推定（interval estimation） [#j7fd34d0]
***区間推定とは [#qb2eb5eb]
-標本の推定量から、「ある確率」で、母集団の特性値（母数）の範囲を示す

***信頼区間と信頼係数 [#jb48769d]
-信頼区間
--「ある」確からしさで示される、母集団の特性値の範囲
--95%信頼区間
---標本から平均値を出したとき、母平均（母集団の平均）がその区間にあるのが''100回中95回以上の確率''で、間違える危険性が5回未満
--99%信頼区間
---標本から平均値を出したとき、母平均（母集団の平均）がその区間にあるのが''100回中99回以上の確率''で、間違える危険性が1回未満
---注意：「母平均の値が95（または99）%の確率でその区間のどこかにある」と解釈してはいけない
--信頼限界：信頼区間の上限および下限の値
-信頼係数
--区間推定の確実性をあらわし、「1-α」（αは0.05または0.01）であらわす
--信頼度 : 100×(1-α) %

***区間推定の考え方 [#s864adde]
+標本の推定量（標本平均、標本比率など）の分布を選択する
--（標準）正規分布、t分布、F分布、カイ2乗分布
+推定量の分布の平均と分散（標準偏差）を求める
+母数にあった方法で、信頼区間を算出する
--一般的には次のようになる
---信頼下限：<推定量の平均>−<分布における確率αの値>×<推定量の標準偏差（標準誤差）>
---信頼上限：<推定量の平均>＋<分布における確率αの値>×<推定量の標準偏差（標準誤差）>
---信頼下限：<推定量>−<分布における確率αの値>×<推定量の標準偏差（標準誤差）>
---信頼上限：<推定量>＋<分布における確率αの値>×<推定量の標準偏差（標準誤差）>


**中心極限定理（central limit theorem） [#ba4d428f]
-平均が &mimetex(\normalsize \mu ); 、分散が &mimetex(\normalsize \sigma^2 ); の母集団から大きさ &mimetex(\normalsize n ); の標本を抽出して、その標本平均 &mimetex(\normalsize \bar{x} ); を調べると、その分布は平均が &mimetex(\normalsize \mu ); 、分散が &mimetex(\normalsize \frac{\sigma^2}{n} ); の正規分布に従う（&mimetex(\normalsize n ); は十分大きな数とする）
--つまり、「標本平均の平均（期待値）は、母集団の平均に一致する」
--また、「母集団の分布に関係なく、標本平均の平均は正規分布にしたがう」
--母集団が正規分布にしたがうなら、標本の大きさにかかわらず、中心極限定理が成り立つ
--参考URL:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/tyuusin2/chuusin.htm