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AND OR

点推定と区間推定

点推定(point estimation)

点推定とは

  • 標本の特性値1つから母集団の特性値を推定する
    • 母数(パラメータ):母集団の特性値(統計量)
      • 母平均(母集団の平均)、母分散(母集団の分散)、母比率(母集団の比率)
      • 直接調べることはできない
    • 推定量:標本をもとに母数として推定した統計量
      • 標本平均(標本の平均)、不偏分散(標本の分散)、標本比率(標本の比率)
      • 推定値:推定量から求めた具体的な値
  • 点推定では、標本の推定値が必ずしも母数と一致するとは限らない(たいてい誤差が生じる)

推定量の望ましい性質

  • 不偏性
    • その期待値(平均値)が母数と一致する推定量を「不偏推定量」という
      • 標本平均について、その期待値は母平均に一致する(中心極限定理へ)
  • 一致性
    • 標本数を大きくしていくと推定値が母数に近づく推定量を「一致推定量」という
      • 大数の法則から明らか(統計的確率は数学的確率に近づく)
  • 有効性
    • ある母数に対して2つ以上の推定量がある場合に分散(誤差)の小さい推定量を「有効推定量」という
      • 標本の中央値に比べ、標本平均の方が、分布の分散が小さい

区間推定(interval estimation)

区間推定とは

  • 標本の推定量から、「ある確率」で、母集団の特性値(母数)の範囲を示す

信頼区間と信頼係数

  • 信頼区間
    • 「ある」確からしさで示される、母集団の特性値の範囲
    • 95%信頼区間
      • 標本から平均値を出したとき、母平均(母集団の平均)がその区間にあるのが100回中95回以上の確率で、間違える危険性が5回未満
    • 99%信頼区間
      • 標本から平均値を出したとき、母平均(母集団の平均)がその区間にあるのが100回中99回以上の確率で、間違える危険性が1回未満
      • 注意:「母平均の値が95(または99)%の確率でその区間のどこかにある」と解釈してはいけない
    • 信頼限界:信頼区間の上限および下限の値
  • 信頼係数
    • 区間推定の確実性をあらわし、「1-α」(αは0.05または0.01)であらわす
    • 信頼度 : 100×(1-α) %

区間推定の考え方

  1. 標本の推定量(標本平均、標本比率など)の分布を選択する
    • (標準)正規分布、t分布、F分布、カイ2乗分布
  2. 推定量の分布の平均と分散(標準偏差)を求める
  3. 母数にあった方法で、信頼区間を算出する
    • 一般的には次のようになる
      • 信頼下限:<推定量>−<分布における確率αの値>×<推定量の標準偏差(標準誤差)>
      • 信頼上限:<推定量>+<分布における確率αの値>×<推定量の標準偏差(標準誤差)>

中心極限定理(central limit theorem)

  • 平均が \normalsize \mu 、分散が \normalsize \sigma^2 の母集団から大きさ \normalsize n の標本を抽出して、その標本平均 \normalsize \bar{x} を調べると、その分布は平均が \normalsize \mu 、分散が \normalsize \frac{\sigma^2}{n} の正規分布に従う(\normalsize n は十分大きな数とする)
    • つまり、「標本平均の平均(期待値)は、母集団の平均に一致する」
    • また、「母集団の分布に関係なく、標本平均の平均は正規分布にしたがう」
    • 母集団が正規分布にしたがうなら、標本の大きさにかかわらず、中心極限定理が成り立つ
    • 参考URL:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/tyuusin2/chuusin.htm

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Last-modified: Tue, 11 Mar 2014 01:49:35 HADT (3691d)