健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/7th/Random_Variable の変更点

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TITLE:確率変数と確率分布
*確率変数と確率分布 [#x75fc0cd]


**確率変数 [#z339bf48]
***確率変数とは [#r3f37544]
-試行の結果、ある値をとる確率が決まる変数を、「''確率変数''」という
-サイコロを1回投げる場合を考える
--サイコロの出た目の数 {1, 2, 3, 4, 5, 6} を &mimetex(\normalsize X ); （確率変数）とする
---確率変数は大文字で書く
--&mimetex(\normalsize X = 1 ); （つまり1の目がでる）の事象の確率は、次のように表すことができる
#mimetex(){{
P(X = 1) = \frac{1}{6}
}}
--同じように、1以外の目が出る確率は、次のように表せる
#mimetex(){{
P(X = 2) = \cdots = P(X = 6) =\frac{1}{6}
}}
--なお、&mimetex(\normalsize X = 1 ); という事象は、&mimetex(\normalsize \{ X = 1 \} ); とも表せる

***確率変数を用いた確率の計算 [#v9d53ecd]
-サイコロを1回投げて、5以上の目が出る事象について考える
--でた目が5の事象 &mimetex(\normalsize \{ X = 5 \} ); 、あるいは、でた目が6の事象 &mimetex(\normalsize \{ X = 6 \} ); になる
--でた目が5以上の事象は、 &mimetex(\normalsize \{ X \geq 5 \} ); と表せる
-したがって、でた目が5以上の事象は次のように書ける
#mimetex(){{
\{ X \geq 5 \} = \{ X = 5 \} \cup \{ X = 6 \}
}}
--ただし、でた目が5になる事象と6になる事象は同時に起こらないので、排反事象である
#mimetex(){{
\{ X = 5 \} \cup \{ X = 6 \} = \phi
}}
-排反事象の確率を求めるには、加法定理（排反前提の場合）を用いる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
P(X \geq 5) &=& P(X = 5) + P(X = 6) \\
&=& \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \\
P(X \geq 5) &=& P(X = 5) + P(X = 6) \\[10]
&=& \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \\[10]
&=& \frac{1}{3}
\end{eqnarray}
}}


**確率分布 [#oe1835e2]
***確率変数に対応する確率 [#ib5d5938]
-例えば、サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率は次のようになる
#mimetex(){{
P(X = 1) = \cdots = P(X = 6) =\frac{1}{6}
}}
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); のとる値と、それに対応する確率を表にまとめると、次のようになる
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
| &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計|
|確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); |
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); に対応する確率の分布を、「''確率分布''」という
-確率分布をまとめた表を、「''確率分布表''」という
--確率分布は、ヒストグラム（縦棒グラフ）や折れ線グラフにすると視覚的にわかりやすくなる

***確率分布 [#i2146b6d]
-一般に、確率変数 &mimetex(\normalsize X ); が、次のような n 個の値をとるとき、
#mimetex(){{
x_1, x_2, \cdots , x_n
}}
-その確率が次のようになるのであれば、
#mimetex(){{
P( X = x_k ) = p_k  ( k = 1, 2, \cdots, n )
}}
-次のことが成り立つ
#mimetex(){{
\left\{ p_1 \geq 0, p_2 \geq 0, \cdots , p_n \geq 0 \\ p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1 \right.
}}

|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
| &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計|
| 確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 |

**確率分布の例 [#m602baf0]
-サイコロを1回投げたときにでた目の数が奇数か偶数かを考える
--奇数がでたときの確率変数を &mimetex(\normalsize Y = 0 ); 、偶数がでたときの確率変数を &mimetex(\normalsize Y = 01 ); とする
--確率変数 &mimetex(\normalsize Y ); の確率分布は、次のようになる
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
| &mimetex(\normalsize Y ); |0|1|計|
|確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); |
-コインを1回投げたときに表が出るか裏が出るかを考える
--表が出る回数を、確率変数 &mimetex(\normalsize X ); で表すと、その確率分布は次のようになる
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
| &mimetex(\normalsize X ); |0|1|計|
|確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{2} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); |