健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/7th/Expected_Value の変更点

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TITLE:確率変数の期待値と分散
*確率変数の期待値と分散 [#q3c54df0]


**期待値（平均値） [#ue6d97f0]
***期待値とは [#x797a328]
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の確率分布が次のようなとき、
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
| &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計|
| 確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 |
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の平均値、または期待値は、次のように表せる
#mimetex(){{
\mu = E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n 
}}
-期待値とは、1回の試行の結果として期待される値の大きさを表す

***期待値の計算例 [#s01a9426]
-サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率分布は次のようになる
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
| &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計|
|確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); |
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の期待値（平均値）は、 &mimetex(\normalsize n = 6 ); なので、
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
x_1 = 1, x_2 = 2, \cdots , x_6 = 6 \\[10]
p_1 = \frac{1}{6}, p_2 = \frac{1}{6}, \cdots , p_6 = \frac{1}{6}  
\end{eqnarray}
}}
-したがって、次のようになる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
E(X) &=& 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} \\[10]
&=& \frac{21}{6} = 3.5
\end{eqnarray}
}}

**期待値と算術平均との関係 [#k3778712]
***期待値と算術平均との関係 [#k3778712]
-n 個のデータ &mimetex(\normalsize x_1 , x_2 , \cdots , x_n ); の平均値は、次のように表せる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n}  \\[10]
&=& x_1 \times \frac{1}{n} + x_2 \times \frac{1}{n} + \cdots + x_n \times \frac{1}{n}
\end{eqnarray}
}}
-ここで確率について、&mimetex(\normalsize p_1 = \frac{1}{n} , p_2 = \frac{1}{n} , \cdots , p_n = \frac{1}{n} ); とおく、つまり各々の確率が等しいと考えると、
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\bar{x} &=& x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \\[10]
&=& E(X)
\end{eqnarray}
}}
-すなわち、各々の確率が等しくても等しくなくても、平均値（期待値）を求めることができる


**分散と標準偏差 [#l8003537]
***確率変数の分散と標準偏差 [#h14c61d5]
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の確率分布が次のようなとき、
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
| &mimetex(\normalsize X ); | &mimetex(\normalsize x_1 ); | &mimetex(\normalsize x_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize x_n ); |計|
| 確率 | &mimetex(\normalsize p_1 ); | &mimetex(\normalsize p_2 ); | &mimetex(\normalsize \cdots ); | &mimetex(\normalsize p_n ); | 1 |
-確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の分散は次のように表す
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\sigma^2 = V(X) &=& (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n \\[10]
&=& \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) p_i
\end{eqnarray}
}}
-分散の正の平方根を、確率変数 &mimetex(\normalsize X ); の標準偏差といい、次のように表す
#mimetex(){{
\sigma = \sqrt{ V(X) }
}}

***確率変数の分散と標準偏差の特徴 [#k32917a5]
-分散や標準偏差が小さいほど、確率変数の値は平均に集中し、ばらつきが小さい
-分散や標準偏差が大きいほど、確率変数の値は平均から離れ、ばらつきが大きい

***確率変数の分散と標準偏差の計算 [#v4532f58]
-サイコロを1回投げたときにでた目の数を確率変数 &mimetex(\normalsize X ); を使うと、その確率分布は次のようになる
|CENTER:|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|CENTER:20|c
| &mimetex(\normalsize X ); |1|2|3|4|5|6|計|
|確率| &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize \frac{1}{6} ); | &mimetex(\normalsize 1 ); |
-したがって、分散は次のようにして求められる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\sigma^2 = V(X) &=& (1 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2 - 3.5)^2  \times \frac{1}{6} + \cdots + (6 - 3.5)^2  \times \frac{1}{6} \\[10]
&=& \frac{35}{12} \simeq 2.92
\end{eqnarray}
}}
-また、標準偏差は次のようになる
#mimetex(){{
\begin{eqnarray}
\sigma &=& \sqrt{ V(X) } \\[10]
&=& \sqrt{ \frac{35}{12} } \simeq 1.71
\end{eqnarray}
}}
-つまり、サイコロを何回も投げたとき、そのでた目の平均が 3.5 ± 1.71 （1.79〜5.21）の範囲になる確率が高いことを示している