健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/3rd/Dispersion の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 2009/3rd/Dispersion へ行く。

TITLE:散布度
*散布度（dispersion） [#pb8170c7]
-代表値のほかに、重要な特性値として「''散布度''」がある。
-平均値にたいして、''どれくらいデータが散らばっているか''を示す。
--分布の裾の広がり具合、集中の度合い

**標準偏差 [#ybb7d5b1]
***偏差 [#o008acb2]
-偏差 '''D''' （または '''d'''） は、各データと平均との差。
--＋の偏差と−の偏差があるため、偏差の合計は0になる。
#mimetex(){{
D=\bar{x} - x_i
}}

***分散(variance)と標準偏差(standard deviation) [#n79494b7]
-分散&mimetex(\normalsize s^2);（または&mimetex(\normalsize \delta^2);）は、偏差平方和（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたもの。
--全データの平均からのバラツキの程度を示す。
#mimetex(){{
s^2=\frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n}
}}
#mathtex(){{
\dpi{240} s^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n}
}}

-標準偏差&mimetex(\normalsize s);は、分散の平方根を求めたもの
--全データの平均からのバラツキの程度を示す（単位はデータと同じ）。
--標準偏差は、代表的な散布度である。
#mimetex(){{
s=\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n} }
}}

-母集団（対象となる全体）の分散や標準偏差を求める場合は、上の式を用いる。

***不偏分散と不偏標準偏差 [#eb4658eb]
-不偏分散&mimetex(\normalsize U^2);は、偏差平方和（偏差の二乗の和）をとって、その平均を求めたもの。
-分母は、「標本数-1」となる。
--全データの平均からのバラツキの程度を示す。
#mimetex(){{
U^2=\frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n-1}
}}

-不偏標準偏差&mimetex(\normalsize U);は、分散の平方根を求めたもの
--全データの平均からのバラツキの程度を示す（単位はデータと同じ）。
--標準偏差は、代表的な散布度である。
#mimetex(){{
U=\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n \left( \bar{x}-x_i \right)^2}{n-1} }
}}

-母集団（対象となる全体）ではなく、標本（対象の一部）の分散や標準偏差を求める場合は、上の式を用いる。


**標準偏差の和 [#hf1fdb2e]
n組の資料があるとき、資料全体の標準偏差は次のようになる。

#mimetex(){{
s_{T}=\left( \frac{\sum_{i=1}^{n}N_{i}\left(\ V_{i}+D_{i}^2 \right)}{\sum_{i=1}^{n}N_i} \right)^{1/2}
}}

--&mimetex(\normalsize s_{T}); …全体の標準偏差
--&mimetex(\normalsize N_i); …'''i'''組目の資料の標本数
--&mimetex(\normalsize V_i); …'''i'''組目の資料の分散
--&mimetex(\normalsize D_i); …'''i'''組目の資料の偏差

**範囲 [#b1119e4a]
-範囲 '''R''' は、最大値&mimetex(\normalsize x_{max});と最小値&mimetex(\normalsize x_{min});との差で示される。
-ハズレ値の影響を受けやすい

#mimetex(){{
R=x_{max}-x_{min}
}}

**四分位偏差 [#c2bd3404]
-四分位偏差は、変動の目安に利用される
-ハズレ値や観測数に影響されにくい

#pre{{
　四分位偏差=(第3四分位数-第1四分位数）/2
}}


**平均偏差 [#w0852639]
-平均偏差 &mimetex(\normalsize M_{dev}); は、偏差の絶対値を平均したもの。 

#mimetex(){{
M_{dev}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left| D_i \right|
}}

**変異係数 [#k8290ec8]
-変異（変動）係数 '''C''' は、標準偏差を平均で割ったもの。
--標準偏差の平均に対する割合を示す（%表示）。
-変異係数は相対的な散布度（無名数で単位はない）。

#mimetex(){{
C = s / \bar{x}
}}

-2つの系列を比較するとき、次のような場合は、相対的散布度が有利
--双方の単位が同じで、平均がほぼ等しい
--双方の単位は同じだが、平均が違う
--双方の単位が違う