2010/11th/Calculate_SampleSize のバックアップ(No.3) - 健康統計の基礎・健康統計学

標本サイズの決め方

区間推定の考え方を使えば、 95%または99%信頼区間においてある決まった標準誤差（標準偏差）になるような、標準サイズを計算して求めることができます。

母比率の区間推定の場合で考えてみます。

標本サイズを $\normalsize n$ が十分大きい場合、正規分布による近似で母比率 $\normalsize p$ を推定できます。信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおりです。

$p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} \pm z_{( \alpha / 2)} \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } }$

ここで、信頼度による標本比率との最大の差を $\normalsize D$ とします。

$D = z_{( \alpha / 2)} \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } }$

この式を、標本サイズ $\normalsize n$ について解くと、次のようになります。

$n = \bar{p} (1 - \bar{p}) \left( \frac{ z_{( \alpha / 2)} }{ D } \right)^2$

これで、標本比率が $\normalsize \bar{p} \pm D$ になる、標本サイズを $\normalsize n$ を求めることができます。

2010年6月29日に生中継された、サッカーのワールドカップの南アフリカ大会決勝トーナメント1回戦、日本対パラグアイ戦の平均視聴率は関東地区57.3%だった。この視聴率が、95%信頼区間において「57.3 ± 2%」となるような、標本サイズを求めよ。

標本サイズを $\normalsize n$ として、標本数がある程度大きいと仮定する。
標本数が大きい場合、正規分布による近似で母比率を推定できるを利用すると、標本サイズ $\normalsize n$ は、次のようになると考えられる。
$\begin{eqnarray}n &=& \bar{p} (1 - \bar{p}) \left( \frac{ z_{( \alpha / 2)} }{ D } \right)^2 \\[10]&=& 57.3 ( 1 - 57.3 ) \left( \frac{ 1.96 }{ 0.02 } \right)^2 \\[10]&=& 2349.82\end{eqnarray}$

つまり、「57.3 ± 2%」で視聴率を調査するには、標本サイズが2350以上である必要があります。

ちなみに、某視聴率調査会社の場合、関東地区で視聴率を調査する機械を取り付けてあるテレビの台数は、 600台といわれています。