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健康統計の基礎・健康統計学 - 2009/10th/Population_Rate のバックアップ(No.3)

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2009/10th/Population_Rate へ行く。
- 1 (2009-06-24 (水) 09:35:55)
- 2 (2009-06-24 (水) 17:47:24)
- 3 (2009-06-25 (木) 04:56:06)

母比率の推定

母集団から抽出した標本をもとに母集団の比率（母比率）を区間推定する

選挙前の候補者の支持率を推定
好き嫌いのようなアンケート調査から全体の傾向を推定できる

正規分布による近似（標本数の多い場合）

二項分布（ある事象が起こるか起こらないかの確率の分布）は、試行回数 $\normalsize n$ が十分大きい場合、正規分布に近似できることを利用
母集団のある事象について、 $\normalsize n$ 回の試行（標本の大きさが $\normalsize n$ ）の標本の比率（標本比率）を $\normalsize \bar{p}$ とするとき
母比率 $\normalsize p$ の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
$\bar{p} - z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \hspace{5} \leq \hspace{5} p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} + z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } }$
- なお、標本比率を $\normalsize \bar{p} = \frac{X}{n}$ とすると、その平均 $\normalsize E( \bar{p} )$ と分散 $\normalsize V( \bar{p} )$ は、次のようになる
  $\begin{eqnarray}E( \bar{p} ) &=& E ( \frac{X}{n} ) = \frac{1}{n} E(X) = \frac{1}{n} np \\&=& p \\V( \bar{p} ) &=& V ( \frac{X}{n} ) = \frac{1}{n^2} V(X) = \frac{1}{n^2} np(1-p) \\&=& \frac{p(1-p)}{n}\end{eqnarray}$

正規分布による近似（標本数の少ない場合）

大きさが $\normalsize N$ 母集団のある事象について、大きさが $\normalsize n$ ）の標本の比率（標本比率）を $\normalsize \bar{p}$ とするとき
母比率 $\normalsize p$ の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
$\bar{p} - z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } \hspace{5} \leq \hspace{5} p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} + z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } } \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} }$
最初の式（標本数が多い場合の式）より近似の精度が良い（母比率に近い値になる）

F分布から算出（標本数の少ない場合）

母集団のある事象について、 $\normalsize n$ 回の試行（標本の大きさが $\normalsize n$ ）の標本の比率（標本比率）を $\normalsize \frac{x}{n}$ とするとき
母比率 $\normalsize p$ の信頼度 100(1-α)% の信頼限度は次のとおり
- 信頼上限 :
  $\frac{m_1 F_U}{m_1 F_U + m_2} , \hspace{10} m_1 = 2(x+1), \hspace{10} m_2 = 2(n-x)$
  - 第1自由度 $\normalsize m_1$ 、第2自由度 $\normalsize m_2$ に対応するF分布の値を $\normalsize F_U$ とする
- 信頼下限 :
  $\frac{n_2 F_U}{n_1 F_U + n_2} , \hspace{10} n_1 = 2(n-x+1), \hspace{10} n_2 = 2x$
  - 第1自由度 $\normalsize n_1$ 、第2自由度 $\normalsize n_2$ に対応するF分布の値を $\normalsize F_L$ とする

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