2010/10th/Calculated_by_Standardization のバックアップ(No.2)

標準化を用いた確率の計算

平均が $\normalsize \mu$ 、分散が $\normalsize \sigma^2$ の 正規分布から、 標準正規分布を導くときに、次の式を用いて標準化を行います。

$z = \frac{ x - \mu }{ \sigma }$

このときの $\normalsize z$ を、 標準得点（standardized score）といいます。

標準得点は、平均が0、分散が1の標準正規分布 $\normalsize N(0,1)$ にしたがいます。

$f(z) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } e^{ \frac{ z^2 }{ 2 } }$

正規分布とみなされるデータを標準化すれば、標準正規分布表を用いて、確率を計算することができます。

「高校3年生のAさんの身長は175cmである。 Aさんが入学する、B大学の学生の身長について、平均は182cmで、標準偏差は8.3cmである。このとき、B大学の学生がAさんより身長が高い確率を求める。」

まず、B大学の学生の身長を $\normalsize x$ として、標準得点を計算する。
$\begin{eqnarray}z &=& \frac{ x - \mu }{ \sigma } \\[10]&=& \frac{ x - 182 } { 8.3 }\end{eqnarray}$
標準得点 $\normalsize z$ は標準正規分布にしたがうので、標準正規分布表を用いて、確率を求める。
「身長が175cmより大きい」ということは、標準得点が次のようになるということである。
$\begin{eqnarray}z &>& \frac{ x - 182 } { 8.3 } \\[10]&>& -0.843\cdots \\[10]&\simeq& -0.84\end{eqnarray}$
したがって、「身長が175cmより大きい」確率 $\normalsize P(z > -0.84}$ は、標準正規分布表から $\normalsize z = -0.84$ の値を求めればよい。
$\begin{eqnarray}P(x > 175) &\simeq& P(z > -0.84) \\[10] &=& 1 - P(z \leq -0.84) \\[10]&\simeq& 1 - 0.2005 \\[10]&\simeq& 0.80\end{eqnarray}$