2009/9th/Population_Correlation_Coefficien のバックアップ(No.2)

母相関係数の推定

おおまかに、次のような手順で母相関係数の推定を行う。

母集団において無相関かどうか（相関係数 $\normalsize \rho$ が0かどうか）を調べる
- 標本において相関があっても、母集団では相関が（ほとんど）ない場合がある

次のような手順でチェックをする。

仮説を立てる
- 「母相関係数は0である」という仮説を考える（帰無仮説という）
有意水準を設定する
- 仮説が成り立たない（棄却するという）確率を有意水準という
- よくα=0.05かα=0.01が使われる
tの値を算出する
$t_0 = \frac{ r \sqrt{ n-2 } }{ \sqrt{ 1 - r^2 } }$
- 標本相関係数を $\normalsize r$ 、標本数を $\normalsize n$ とする
t分布表から有意水準に対応するtの値（自由度 n-2 ）をもとめる
- t分布表から、確率 1-α、自由度 n-2 のtの値を算出する
2つのtの値をもとに判定する
- $\normalsize t_0 \geq t(n-2, \alpha /2 )$ の場合
  - 仮説を棄却する、すなわち、 $\normalsize \rho \neq 0$ で母相関係数は有意
- $\normalsize t_0 < t(n-2, \alpha /2 )$ の場合
  - 仮説を棄却しない、すなわち、 $\normalsize \rho = 0$ で母相関係数は無相関

次のような手順で推定する。

標本相関係数 $\normalsize r$ をz変換する
- $\normalsize r$ を正規分布で近似させるために、フィッシャー(Fisher)のz変換で変換する
  $z_r = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+r}{1-r} \right)$
- $\normalsize z$ は標準偏差 $\normalsize s_z = \frac{1}{ \sqrt{n-3} }$ ）の正規分布で近似される
母相関係数をz変換した、 $\normalsize z_{ \rho }$ の信頼限界を算出する
- 信頼上限 :
  $z_U = z_r + z( \alpha / 2) \frac{ 1 }{ \sqrt{ n-3 } }$
- 信頼下限 :
  $z_L = z_r - z( \alpha / 2) \frac{ 1 }{ \sqrt{ n-3 } }$
$\normalsize z_U$ と $\normalsize z_L$ を $\normalsize r$ に逆変換して、 $\normalsize \rho$ の信頼限界を求める
- 信頼上限 :
  $\rho_U = \frac{ e^{ 2z_U} - 1 }{ e^{ 2z_U} + 1 }$
- 信頼下限 :
  $\rho_L = \frac{ e^{ 2z_L} - 1 }{ e^{ 2z_L} + 1 }$