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健康統計の基礎・健康統計学 - 2011/9th/Probability のバックアップ(No.1)

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2011/9th/Probability へ行く。
- 1 (2011-06-08 (水) 16:48:50)

確率

事象

あることが起こった結果を、「事象」といい、事象 A を $\normalsize A$ と表す
- 全体の事象のことを「全事象」といい、 $\normalsize \Omega$ と表す
- 決して起こらないことを「空事象」といい、 $\normalsize \phi$ と表す
- 事象 A または B が起こる確率を「和事象」といい、 $\normalsize A \cup B$ と表す
- 事象 A と B が同時に起こる確率を「積事象」といい、 $\normalsize A \cap B$ と表す

確率 (Probability)

「確率」とは、あることが起こる結果の割合、つまり起こりやすさの目安である
- ある事象 A が起こる確率を、 $\normalsize \mathrm{P}(A)$ と表す
- 確率は、0 から 1 の間の値をとる
  $0 \leq \mathrm{P}(A) \leq 1$
  - 全事象の確率は $\normalsize \mathrm{P}( \Omega ) = 1$ となる
  - 空事象の確率は $\normalsize \mathrm{P}( \phi ) = 0$ となる

数学的確率

あることが起こる結果が何通りあるかを元にしてだす確率を、「数学的確率」という
例えば…
- サイコロの目の出方は6通り
- 3の目が出る確率は 1/6
事象Aの確率は、事象 A の起こる場合の数 a を、すべての場合の数（何通りあるかすべて数えたもの）N で割ったものである
$\mathrm{P}(A) = \frac{a}{N}$

統計的確率

実際に起こった結果を元にしてだす確率を、「統計的確率」という
例えば…
- 実際にサイコロを60回投げたら、3の目が13回出た
- この時点での、3の目が出た確率は 13/60
事象Aの確率は、事象Aの起こった回数 r を、すべての起こった回数 n で割ったものである
$\mathrm{P}(A) = \frac{r}{n}$

大数の法則

試行（あることを実施する）回数を増やせば増やすほど、統計的確率が数学的確率に近づいていくことを、「大数の法則」という
例えば…
- 実際にサイコロを1,000回投げたら、3の目が1,300回出た
- その結果、3の目が出た確率はほぼ 1/3
  $\begin{eqnarray}\mathrm{P}(A) &=& \lim_{n\to\infty}\frac{r}{n}&=& \frac{a}{N}\end{eqnarray}$

加法定理

排反前提の場合

2つ、または2つ以上の排反事象（同時に起こりえない事象）が起こる確率は、それぞれの確率の和である
$\begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cup B) &=& \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) \\\mathrm{P}(A \cup B \cup C \cdots ) &=& \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}(C) + \cdots \\\end{eqnarray}$
- 同時に起こりえない（2つ、または2つ以上の）事象を「排反事象」という
  $A \cup B = \phi$
例：52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはダイヤを引く確率は、次のとおり
$\begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{13}{52} \\&=& \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\end{eqnarray}$

一般の場合

2つ、または2つ以上の事象が起こる確率は、それぞれの確率の和から、それぞれの事象が同時に起こる確率を引いたもの
$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$
例：52枚のトランプから1枚引いたとき、ハートまたはＡ（エース）を引く確率は、次のとおり
$\begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cup B) &=& \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} \\&=& \frac{4}{13}\end{eqnarray}$

乗法定理

条件つき確率

「A が起こったときに B が起きる」事象を、 $\normalsize B \mid A$ と表す
「A が起こったときに B が起きる」事象の確率、つまり、A が起こったという条件のもとで B が起きる確率を、「条件つき確率」といい、 $\normalsize \mathrm{P}( B \mid A )$ と表す
$\begin{eqnarray}\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\\end{eqnarray}$
上の式の両辺に $\normalsize \mathrm{P}(A)$ を掛けると、次のように式が変形できる
$\mathrm{P}(B \cap A) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B \mid A)$
- B が A に関係なく起きる（事象 A と B が独立な事象である）場合、「乗法定理」が導き出せる

例：サイコロを投げて、奇数の目が出たとき（事象 A ）に、それが1の目である（事象 B ）確率は、次のとおり
$\begin{eqnarray}\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\&=& \frac{1}{3}\end{eqnarray}$
- A = 奇数の目が出る = {1, 3 ,5}
- B = 1の目が出る = {1}
例：ある男女100人について結婚しているかどうか調査した結果が、次のようになった。この100人から1人を選んだとき、それが結婚している男性である確率は？
男性女性合計
結婚している 26 21 47
結婚していない 29 24 53
合計 55 45 100
- A = 選んだ人が男性である = 55人
- $\normalsize A \cap B$ = 結婚している男性である = 26人
  $\begin{eqnarray}\mathrm{P}(B \mid A) &=& \frac{ \mathrm{P}(A \cap B) }{ \mathrm{P}(A) } \\&=& \frac{26}{55}\end{eqnarray}$

乗法定理

2つ、または2つ以上の互いに独立な事象が同時に（または続けて）起こる確率は、確率の積になる
$\begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cap B) &=& \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B) \\\mathrm{P}(A \cap B \cap C \cdots ) &=& \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B) \times \mathrm{P}(C) \times \cdots \\\end{eqnarray}$
「独立事象」とは、ある事象の発生する確率が、他のいずれの事象の影響も受けない（他の事象に関係なく発生する事象）
例：サイコロを2回投げて、2回とも1の目が出る確率（1の目が出た後、1の目が出る確率）は、次のとおり
$\begin{eqnarray}\mathrm{P}(A \cap B) &=& \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\&=& \frac{1}{36}\end{eqnarray}$

余事象

ある事象Aについて、その事象がおこらないすべての場合（の事象）を「余事象」 $\normalsize \bar{A}$ と表す
余事象が起こる確率を $\normalsize \mathrm{P}( \bar{A})$ と表す
$\mathrm{P}( \bar{A}) = 1 - \mathrm{P}(A)$
例：サイコロを2回投げたとき、「少なくとも」1回は3の目が出る確率は、次のとおり
1. 「少なくとも〜」の場合は、余事象の確率を考える
2. サイコロを1回投げて、3の目が全く出ない確率は 5/6
3. 2回目も3の目が出ない確率は、次のようになる
  $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$
4. サイコロを2回目投げて何かが出る確率（=1）から、2回とも3の目が出ない確率をひけば、少なくとも1回は3の目が出る確率になる
  $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

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