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健康統計の基礎・健康統計学 - 2010/11th/Population_Mean のバックアップ(No.1)

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2010/11th/Population_Mean へ行く。
- 1 (2010-06-30 (水) 13:49:29)
- 2 (2010-06-30 (水) 15:38:29)
- 3 (2010-07-07 (水) 01:00:36)

母平均の区間推定

母集団から抽出した標本をもとに母集団の平均（母平均）を区間推定する

大卒100人の初任給のデータからすべての大卒の初任給の平均を推定
あるクラスの男子の身長のデータから日本全体の同年代の男子の身長の平均を推定

母分散が既知の場合

分散が $\normalsize \sigma^2$ 母集団から抽出した大きさ $\normalsize n$ の標本の平均（標本平均）が $\normalsize \bar{x}$ であるとき
母平均（母集団の平均） $\normalsize \mu$ の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
$\bar{x} - z( \alpha / 2) \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + z( \alpha / 2) \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} }$
- なお $\normalsize z$ は次のように標準化した統計量で、標準正規分布にしたがう
  $z = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } }$
標本平均 $\normalsize \bar{x}$ の分布は正規分布にしたがい（中心極限定理より）、平均は $\normalsize \mu$ 、分散は $\normalsize \frac{ \sigma^2}{n}$ となる
標本数が多い場合にも使う

母分散が未知の場合（t推定）

母標準偏差 $\normalsize \sigma$ のかわりに、標本標準偏差 $\normalsize s$ を用いる
- 分散は不偏分散になる
  $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})$

母集団から抽出した大きさ $\normalsize n$ の標本の平均（標本平均）が $\normalsize \bar{x}$ 、分散（不偏分散） $\normalsize s^2$ がであるとき
母平均 $\normalsize \mu$ の信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおり
$\bar{x} - t(n-1, \alpha / 2) \frac{ s }{ \sqrt{n} } \hspace{5} \leq \hspace{5} \mu \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{x} + t(n-1, \alpha / 2) \frac{ s }{ \sqrt{n} }$
- $\normalsize t$ は次のように標準化した統計量で、t分布にしたがい、平均は $\normalsize \mu$ 、分散は $\normalsize \frac{ s^2}{n}$ となる
  $t = \frac{ \bar{x} - \mu }{ \frac{ s }{ \sqrt{n} } }$
- $\normalsize t(n-1, \alpha / 2)$ は、自由度 n-1、確率α/2 のtの値
標本数が少ない場合にも用いる
- 自由度（すなわち標本数）が増えれば、t分布が標準正規分布 N(0, 1) に近づくので、母分散が既知の場合と同じになる

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