2010/11th/Calculate_SampleSize のバックアップ(No.1) - 健康統計の基礎・健康統計学

標本サイズの決め方

区間推定の考え方を使えば、 95%または99%信頼区間においてある決まった標準誤差（標準偏差）になるような、標準サイズを計算して求めることができます。

母比率の区間推定の場合で考えてみます。

標本サイズを $\normalsize n$ が十分大きい場合、正規分布による近似で母比率 $\normalsize p$ を推定できます。信頼度 100(1-α)% の信頼区間は次のとおりです。

$p \hspace{5} \leq \hspace{5} \bar{p} \pm z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } }$

ここで、信頼度による標本比率との差を $\normalsize D$ とします。この $\normalsize D$ は、信頼度による標本比率の標準偏差（標準誤差）になります。

$D = z( \alpha / 2) \sqrt{ \frac{ \bar{p} (1 - \bar{p}) }{ n } }$

この式を、標本サイズ $\normalsize n$ について解くと、次のようになります。

$n = \bar{p} (1 - \bar{p}) \left( \frac{ z( \alpha / 2) }{ D } \right)^2$

これで、標本比率が $\normalsize \bar{p} \pm D$ になる、標本サイズを $\normalsize n$ を求めることができます。

2010年6月29日に生中継された、サッカーのワールドカップの南アフリカ大会決勝トーナメント1回戦、日本対パラグアイ戦の平均視聴率は関東地区57.3%だった。この視聴率が、95%信頼区間において「57.3 ± 2%」となるような、標本サイズを求めよ。

標本サイズを $\normalsize n$ として、標本数がある程度大きいと仮定する。
標本数が大きい場合、正規分布による近似で母比率を推定できるを利用すると、標本サイズ $\normalsize n$ は、次のようになると考えられる。
$\begin{eqnarray}n &\leq& \frac{ x - \mu }{ \sigma } \\[10]&=& \frac{ x - 182 } { 8.3 }\end{eqnarray}$
標準得点 $\normalsize z$ は標準正規分布にしたがうので、標準正規分布表を用いて、確率を求める。
「身長が175cmより大きい」ということは、標準得点が次のようになるということである。
$\begin{eqnarray}z &>& \frac{ x - 182 } { 8.3 } \\[10]&>& -0.843\cdots \\[10]&\simeq& -0.84\end{eqnarray}$